Съдържание

ВсОШ 2003, Зонален етап — Задача 10.2. 10 класс. Почти равные сопротивления

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Зональный этап. Экспериментальный тур

Об источнике

МФТИ, 2002/2003 уч. г. В пособии представлены по две отдельные задачи для 9, 10 и 11 классов и возможные решения. Авторы: 9 класс — Дунин С., Крюков А.; 10 класс — Кузьмичев С., Шведов О.; 11 класс — Шведов О., Слободянин В. Общая редакция — Дунин С., Слободянин В., Чудновский А. Подписано в печать 11 марта 2003 г. Баллы, время тура и подробная разбалловка не приведены.

Условие

Расположите выданные вам неизвестные резисторы в порядке убывания сопротивлений $R_1>R_2>R_3>R_4$ . Найдите $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ . Определите с как можно большей точностью отношения $(R_1-R_2)/R_1$ и $(R_3-R_4)/R_3$ , про которые известно, что они много меньше единицы.

Оборудование. Источник тока с неизвестным внутренним сопротивлением, резистор с известным сопротивлением $R_0$ , четыре резистора с неизвестными сопротивлениями, многопредельный вольтметр, который можно считать идеальным, соединительные провода.

Решение

Рекомендации для организаторов. Величины неизвестных сопротивлений $R_1$ , $R_3$ и известного сопротивления $R_0$ должны быть одного порядка, но разными (могут отличаться в два-три раза, например, $R_1\approx R_2\approx300$ Ом, $R_3\approx R_4\approx200$ Ом, $R_0\approx500$ Ом). Малые отношения $(R_1-R_2)/R_1$ и $(R_3-R_4)/R_3$ должны быть также одного порядка, но разными (например, $(R_1-R_2)/R_1\approx0{,}04$ , $(R_3-R_4)/R_3\approx0{,}03$ ). Пару резисторов с близкими сопротивлениями можно изготовить, взяв два одинаковых резистора (например 300 Ом) и подключив к одному из них резистор с большим сопротивлением (несколько килоом). Многопредельный вольтметр должен с достаточной точностью измерять как напряжение порядка ЭДС батарейки $\mathcal E$ , так и напряжения порядка $\mathcal E(R_1-R_2)/R_1$ , имея на всех пределах внутренние сопротивления, много большие сопротивления резисторов. При тестировании задачи использовался цифровой мультиметр ИТ20В и батарейка с ЭДС порядка 5 В.

Грубо значение сопротивления $R_x$ можно найти, собрав схему (рис. 6) из батарейки, неизвестного резистора $R_x$ и резистора известного сопротивления $R_0$ . Тогда отношение сопротивлений равно отношению напряжений на резисторах, которые измеряются вольтметром на «грубом» пределе. Чтобы найти отношения $(R_1-R_2)/R_1$ и $(R_3-R_4)/R_3$ с большей точностью, соберем две «мостовые схемы» (рис. 7 и рис. 8). Тогда напряжения $U_{12}$ будут одинаковыми, а измеряемые вольтметром напряжения — малыми (напряжение $U_{12}$ можно измерить на грубом пределе). Показания вольтметра в первом случае

U_1=U_{12}\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}-\frac{R_3}{R_3+R_4}\right),

во втором случае

U_2=U_{12}\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}-\frac{R_4}{R_3+R_4}\right).

Тогда

\frac{U_2}{U_{12}}-\frac{U_1}{U_{12}}=\frac{R_3-R_4}{R_3+R_4},\qquad \frac{U_2}{U_{12}}+\frac{U_1}{U_{12}}=\frac{R_1-R_2}{R_1+R_2}.

Отсюда находим

\frac{R_3-R_4}{R_3}\approx2\frac{R_3-R_4}{R_3+R_4}=2\left(\frac{U_2}{U_{12}}-\frac{U_1}{U_{12}}\right),

\frac{R_1-R_2}{R_1}\approx2\frac{R_1-R_2}{R_1+R_2}=2\left(\frac{U_2}{U_{12}}+\frac{U_1}{U_{12}}\right).

Рис. 6–8: измерение неизвестного сопротивления и две мостовые схемы.

Оригинал в Архива: ok03E.pdf