Съдържание

ВсОШ 2003, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 5. «Догонялки»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

10 класс

Маленькая шайба массы $m_1$ лежит на краю длинной доски массой $m_2$ , покрытой смазкой. Трение между шайбой и доской вязкое (сила трения $|\vec{F}_{tr}| = \alpha v_{otn}$ , где $v_{otn}$ — скорость шайбы относительно доски). Система находится на гладкой горизонтальной поверхности. Шайбе сообщают скорость $v_0$ , направленную вдоль доски. Каковы будут скорости $v_1$ шайбы и $v_2$ доски через достаточно большой промежуток времени? На каком расстоянии $L$ от края доски окажется шайба?

Шайба $m_1$ на левом краю длинной заштрихованной доски $m_2$, лежащей на горизонтальной поверхности; стрелка скорости $\vec{v}_0$ направлена вдоль доски вправо. — Рис. 8

Отговори

Решение

Обозначим через $\vec{u} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$ относительную скорость шайбы и доски. Найдем $\Delta\vec{u}/\Delta t$ . По второму закону Ньютона

m_1\frac{\Delta\vec{v_1}}{\Delta t} = -\alpha(\vec{v_1} - \vec{v_2}), \qquad m_2\frac{\Delta\vec{v_2}}{\Delta t} = \alpha(\vec{v_1} - \vec{v_2}).

Отсюда

\frac{\Delta\vec{u}}{\Delta t} = -\alpha\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)\vec{u} = -\frac{\vec{u}}{\tau}, \qquad \text{где} \qquad \frac{1}{\tau} = \frac{\alpha}{\mu}, \qquad \frac{1}{\mu} = \left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right).

Постоянная $\tau$ имеет размерность времени, а $\mu$ — массы. Таким образом, относительная скорость $\vec{u}$ будет изменяться по тому же закону, что и скорость материальной точки массой $\mu$ , движущейся в вязкой среде с силой сопротивления $-\alpha\vec{u}$ . Со временем эта материальная точка затормозится — установившееся значение скорости $\vec{u}$ будет равно нулю, то есть скорости шайбы и доски станут одинаковыми. Их значения $\vec{v}$ можно найти из закона сохранения импульса:

m_1\vec{v} + m_2\vec{v} = m_1\vec{v_0}, \qquad v = v_0\frac{m_1}{m_1 + m_2}.

Обозначим через $\vec{r}$ вектор, соединяющий шайбу и конец доски. Поскольку $\vec{u} = \Delta\vec{r}/\Delta t$ , имеем

\Delta\vec{r} = \vec{u}\Delta t = -\tau\Delta\vec{u}.

При изменении скорости $u$ от $v_0$ до нуля ( $\Delta u = -v_0$ ) расстояние $r$ между шайбой и концом доски изменяется на

\Delta r = v_0\tau.

Таким образом, в установившемся режиме шайба и доска будут двигаться со скоростью $v = v_0m_1/(m_1+m_2)$ , а шайба удалится от края доски на расстояние

L = v_0\tau = \frac{v_0}{\alpha}\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}.

Оригинал в Архива: ok03T.pdf