Съдържание

ВсОШ 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (9 кл.). 9 класс — Катапульта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Ярославль, 2003/2004 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторский коллектив — Александров Д., Бутиков Е., Воробьев И., Егоров М., Иоголевич И., Козел С., Муравьев В., Можаев В., Подлесный Д., Чивилев В., Чудновский А.

Общая редакция — Козел С.

Техническая редакция — Александров Д., Слободянин В., Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Щербаков Р., Егоров М., Ильин А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 14 марта 2005 г. в 22:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

При осаде древней крепости осажденные вели стрельбу по наступавшему противнику с помощью катапульт из-за крепостной стены высотой $h=20{,}4\ \text{м}$ . Начальная скорость снарядов $v_0=25\ \text{м/с}$ . На каком максимальном расстоянии $S_{\max}$ от стены находились цели, которых могли достигать снаряды катапульт? Сравните это расстояние с максимальной дальностью $L_{\max}$ снаряда катапульты. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение

Максимальную дальность $S_{\max}$ обеспечивает единственная траектория, которая проходит над самой вершиной стены. В конечной точке скорость снаряда такая же, как и при вылете из катапульты. Пользуясь обратимостью движения, можно рассмотреть траекторию попятного движения, выходящую из цели и проходящую через вершину стены (рис. 12). Уравнения движения снаряда по горизонтальной и вертикальной осям имеют вид:

S=v_0t\cos\alpha,\qquad h=v_0t\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}.

Исключив из этих уравнений время $t$ , выразим

h=S\operatorname{tg}\alpha-\frac{gS^2}{2v_0^2}(1+\operatorname{tg}^2\alpha).

Получилось квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg}\alpha$ (при заданных значениях $h$ и $S$ ). Максимальной дальности $S=S_{\max}$ соответствует совпадение корней этого уравнения, так как максимальной дальности соответствует единственная траектория. Приравняв нулю дискриминант квадратного уравнения, найдем

S_{\max}=\frac{v_0^2}{g}\sqrt{1-\frac{2gh}{v_0^2}}\approx38{,}2\ \text{м}\approx38\ \text{м}.

Максимальная дальность снаряда катапульты соответствует случаю $h=0$ :

L_{\max}=\frac{v_0^2}{g}\approx63{,}7\ \text{м}\approx64\ \text{м}.

Оригинал в Архива: final04T.pdf