Съдържание

ВсОШ 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Остывающая планета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Ярославль, 2003/2004 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторский коллектив — Александров Д., Бутиков Е., Воробьев И., Егоров М., Иоголевич И., Козел С., Муравьев В., Можаев В., Подлесный Д., Чивилев В., Чудновский А.

Общая редакция — Козел С.

Техническая редакция — Александров Д., Слободянин В., Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Щербаков Р., Егоров М., Ильин А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 14 марта 2005 г. в 22:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Космонавты, высадившиеся на далекой планете, в ходе исследований обнаружили, что:

— планета так далека от всех звезд, что единственным источником энергии на ней являются протекающие в недрах планеты реакции радиоактивного распада;

— планета однородна, имеет форму шара, а радиоактивные элементы равномерно распределены по всему ее объему;

— период полураспада радиоактивных элементов равен 1 млн. лет (ход этого процесса не зависит от температуры);

— температура на поверхности планеты $t_1=0^\circ\text{C}$ , а в ее центре $t_2=100^\circ\text{C}$ ;

— атмосфера отсутствует и планета непрерывно теряет энергию из-за теплового излучения.

Считая, что энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности планеты, пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры поверхности, а тепловой поток внутри планеты пропорционален перепаду температур на единицу расстояния $\Delta T/\Delta r$ определите:

1. температуру на расстоянии $r=R/2$ от центра планеты в момент исследований;

2. температуру поверхности планеты через 4 млн. лет;

3. температуру в центре планеты через 4 млн. лет.

Решение

Рассмотрим тепловой поток внутри планеты через сферу радиусом $r<R$ :

\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_r=k\cdot4\pi r^2\cdot\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|,

где $k$ — коэффициент, характеризующий теплопроводность планеты.

Поскольку охлаждение планеты происходит очень медленно, будем считать, что в каждый момент времени любой участок планеты находится в состоянии теплового равновесия. Тогда через нашу сферу в единицу времени проходит такое количество энергии, которое выделяется внутри нее, а через поверхность планеты — внутри всей планеты:

\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_R=\sigma\cdot4\pi R^2\cdot T_1^4,

где $\sigma$ — постоянная Стефана–Больцмана.

Поскольку радиоактивные элементы распределены равномерно по всему объему планеты, то

\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_r=\frac{r^3}{R^3}\cdot\left(\frac{\Delta Q}{\Delta\tau}\right)_R=\frac{r^3}{R^3}\cdot\sigma\cdot4\pi R^2\cdot T_1^4=k\cdot4\pi r^2\cdot\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|.

Из последнего равенства

\left|\frac{\Delta T}{\Delta r}\right|=\frac\sigma k\cdot\frac{T_1^4}{R}\cdot r.

После интегрирования найдем

T(r)-T_1=\frac{\sigma T_1^4}{2kR}(R^2-r^2).

Поскольку $T(0)=T_2$ , последнее выражение можно привести к виду

\frac{T(r)-T_1}{T_2-T_1}=\frac{R^2-r^2}{R^2}.

Отсюда $t_{r=R/2}=75^\circ\text{C}$ .

Так как число радиоактивных элементов за 1 млн. лет уменьшается вдвое, то за 4 млн. лет оно уменьшится в $2^4=16$ раз. Это означает, что количество источников энергии и, следовательно, выделяемая ими энергия также уменьшится в 16 раз. Вся эта энергия излучается с поверхности планеты и, так как мощность излучения пропорциональна $T^4$ , температура поверхности за 4 млн. лет уменьшится вдвое:

T_1=273\ \text{К},\qquad T'_1=136{,}5\ \text{К},\qquad t'_1=-136{,}5^\circ\text{C}.

Найдем температуру в центре планеты через 4 млн. лет. При $r=0$ получаем:

(T_2-T_1)=\frac{\sigma R}{2k}T_1^4.

Таким образом,

\frac{T'_2-T'_1}{T_2-T_1}=\left(\frac{T'_1}{T_1}\right)^4=\frac1{16},

откуда

T'_2=T'_1+\frac1{16}(T_2-T_1)\approx143\ \text{К},\qquad t'_2\approx-130^\circ\text{C}.

Оригинал в Архива: final04T.pdf