Съдържание

ВсОШ 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (11 кл.). 11 класс — Частицы в магнитном поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Ярославль, 2003/2004 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторский коллектив — Александров Д., Бутиков Е., Воробьев И., Егоров М., Иоголевич И., Козел С., Муравьев В., Можаев В., Подлесный Д., Чивилев В., Чудновский А.

Общая редакция — Козел С.

Техническая редакция — Александров Д., Слободянин В., Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Щербаков Р., Егоров М., Ильин А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 14 марта 2005 г. в 22:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Две частицы с одинаковыми массами $m$ и зарядами $q$ и $-q$ начинают с нулевыми начальными скоростями двигаться в однородном магнитном поле $\vec B$ , перпендикулярном соединяющему их отрезку длины $R$ (рис. 10).

1. Найдите минимальное значение индукции магнитного поля $B=B_0$ (критическое поле), при котором частицы не столкнутся друг с другом.

2. На каком расстоянии $r$ друг от друга они окажутся при наибольшем сближении, если $B>B_0$ ?

3. Найдите скорости частиц и расстояние между ними в момент наибольшего сближения при критическом значении магнитного поля. Как в этом случае будут двигаться частицы после их наибольшего сближения. Нарисуйте качественный график траектории частиц.

Решение

Из закона сохранения энергии для обеих частиц находим:

mv^2=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1r-\frac1R\right),\qquad (1)

где $v$ — их скорость в момент наибольшего сближения.

Пусть ось $x$ направлена параллельно отрезку, соединяющему заряды, а ось $y$ — перпендикулярна ему. Найдем проекцию ускорения левой частицы на ось $y$ :

m\frac{dv_y}{dt}=qB\frac{dx}{dt},

где $dx/dt$ — проекция ее скорости на ось $x$ , откуда

m\,dv_y=qB\,dx.

Учитывая симметричный характер движения частиц относительно оси $y$ , найдем полное изменение импульса вдоль оси $y$ и имеем:

mv=\frac{qB(R-r)}2.\qquad (2)

Исключая из (1) и (2) $v$ , получаем уравнение:

\frac{B^2(R-r)^2}{m}=\frac1{\pi\varepsilon_0}\left(\frac1r-\frac1R\right),

которое после сокращения на $(R-r)$ приводится к виду:

r^2-Rr+\frac m{\pi\varepsilon_0B^2R}=0.

Корни этого уравнения

r=\frac R2\left(1\pm\sqrt{1-\frac{4m}{\pi\varepsilon_0R^3B^2}}\right).

Из этого соотношения видно, что решение задачи существует только при условии

B\ge B_0=\sqrt{\frac{4m}{\pi\varepsilon_0R^3}}.\qquad (1)

Если $B<B_0$ , то магнитная сила (сила Лоренца) недостаточна для разворота частиц и произойдет столкновение.

При выполнении условия (1) из двух корней квадратного уравнения следует выбрать больший корень:

\frac R2\left(1+\sqrt{1-\frac{4m}{\pi\varepsilon_0R^3B^2}}\right),

так как при достижении этого значения сближение частиц прекращается.

При критическом значении магнитного поля $B=B_0$ частицы сблизятся на расстояние $r=R/2$ . В этом случае на них действует электрическая сила

F_e=\frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2}=\frac{q^2}{\pi\varepsilon_0R^2},

и противоположная по направлению магнитная сила Лоренца

F_L=qvB_0.\qquad (3)

Подставляя в (3) значения критического поля $B_0$ и скорости $v$ (из закона сохранения энергии), найдем

F_L=\frac{q^2}{\pi\varepsilon_0R^2}=F_e.

Это значит, что при критическом поле частицы после максимального сближения на расстояние $r=R/2$ будут двигаться параллельно друг другу с постоянными скоростями (рис. 18).

Оригинал в Архива: final04T.pdf