Съдържание

ВсОШ 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (10 кл.). 10 класс — Теплоемкость газа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Ярославль, 2003/2004 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторский коллектив — Александров Д., Бутиков Е., Воробьев И., Егоров М., Иоголевич И., Козел С., Муравьев В., Можаев В., Подлесный Д., Чивилев В., Чудновский А.

Общая редакция — Козел С.

Техническая редакция — Александров Д., Слободянин В., Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Щербаков Р., Егоров М., Ильин А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 14 марта 2005 г. в 22:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

С одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс (рис. 7). Найдите теплоемкость газа в точке $A$ . В какой точке процесса теплоемкость газа максимальна?

Решение

Из определения теплоемкости, первого начала и формулы для внутренней энергии одного моля идеального газа $U=c_vT$ получаем для теплоемкости одного моля:

c=\frac{\delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+p\Delta V}{\Delta T}=\frac{c_v\Delta T+p\Delta V}{\Delta T}=c_v+p\frac{\Delta V}{\Delta T}.\qquad (1)

Вычислим отношение $\Delta V/\Delta T$ в точке $A$ заданного процесса. Для этого рассмотрим бесконечно малый участок процесса от точки $A$ ( $p_A=2p_0$ , $V_A=V_0$ ) до близкой точки $B$ ( $p_B=p_A+\Delta p$ , $V_B=V_A+\Delta V$ ). Очевидно, $\Delta p$ и $\Delta V$ имеют разные знаки.

Запишем уравнение процесса в виде

\frac p{p_0}+\frac V{V_0}=3.

В точке $A$

\frac{p_A}{p_0}+\frac{V_A}{V_0}=3,\qquad (2)

в точке $B$

\frac{p_A+\Delta p}{p_0}+\frac{V_A+\Delta V}{V_0}=3.\qquad (3)

Вычитая (2) из (3), для малых изменений $\Delta p$ и $\Delta V$ получаем

\frac{\Delta p}{p_0}+\frac{\Delta V}{V_0}=0.\qquad (4)

Еще одно соотношение для малых изменений можно получить из уравнения Менделеева–Клапейрона для начального и конечного состояний:

p_AV_A=RT_A,\qquad(p_A+\Delta p)(V_A+\Delta V)=R(T_A+\Delta T).

Раскроем скобки, вычтем из второго уравнения первое и пренебрежем $\Delta p\Delta V$ :

p_A\Delta V+V_A\Delta p=R\Delta T,\quad\text{или}\quad2p_0\Delta V+V_0\Delta p=R\Delta T.\qquad (5)

Теперь исключим $\Delta p$ из (4) и (5):

p_0\Delta V=R\Delta T,\quad\text{или}\quad p_0\frac{\Delta V}{\Delta T}=R.

Теперь из формулы (1) для теплоемкости в точке $A$ получаем

c=c_v+p_A\frac{\Delta V}{\Delta T}=c_v+2p_0\frac{\Delta V}{\Delta T}=c_v+2R=\frac72R.

График данного процесса касается изотермы в точке $(1{,}5p_0;1{,}5V_0)$ . Теплоемкость газа в этой точке равна бесконечности и, следовательно, максимальна.

Оригинал в Архива: final04T.pdf