Съдържание

ВсОШ 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (9 кл.). 9 класс — Санки с цилиндром

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Ярославль, 2003/2004 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторский коллектив — Александров Д., Бутиков Е., Воробьев И., Егоров М., Иоголевич И., Козел С., Муравьев В., Можаев В., Подлесный Д., Чивилев В., Чудновский А.

Общая редакция — Козел С.

Техническая редакция — Александров Д., Слободянин В., Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Щербаков Р., Егоров М., Ильин А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 14 марта 2005 г. в 22:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Тонкостенный цилиндр массой $m$ насажен с помощью легких спиц на горизонтальную ось $O$ , закрепленную на санках (рис. 1), и может вращаться вокруг нее без трения. Масса цилиндра вместе с санками равна $M$ . Мальчик тянет санки в горизонтальном направлении с постоянной силой $F$ за легкий трос, намотанный на цилиндр. В результате за некоторое время санки из состояния покоя переместились по гладкой горизонтальной дороге на расстояние $S$ .

1. Какой скорости $V_1$ достигли бы санки, пройдя путь $S$ , если бы цилиндр был заторможен в оси и не мог вращаться?

2. Какой скорости $V_2$ достигли санки, пройдя путь $S$ , при незаторможенном цилиндре?

3. Какую работу совершил мальчик при незаторможенном цилиндре?

Решение

В обоих случаях ускорение санок $a=F/M=\mathrm{const}$ , поэтому их скорость

V_1=V_2=V=\sqrt{2aS}=\sqrt{\frac{2FS}{M}}.

Покажем, что для любой системы материальных точек массами $m_i$ кинетическая энергия системы

K=\frac{mV_c^2}{2}+\frac12\sum m_iv_i^2,

где $m=\sum m_i$ — масса системы, $V_c$ — скорость ее центра масс, $v_i$ — скорость $i$ -той материальной точки в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью центра масс. Пусть $V_i$ — скорости точек в неподвижной системе отсчета, тогда кинетическая энергия

K=\frac12\sum m_iV_i^2=\frac12\sum m_i\left(\vec V_c+\vec v_i\right)^2=

=\frac12\sum m_iV_c^2+\frac12\sum m_iv_i^2+\vec V_c\sum m_i\vec v_i=\frac12\sum m_iV_c^2+\frac12\sum m_iv_i^2,

так как в системе отсчета центра масс импульс системы $\sum m_i\vec v_i=0$ .

Запишем закон сохранения механической энергии:

A=M\frac{V^2}{2}+m\frac{v^2}{2},

где $v$ — скорость точек цилиндра в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью санок, откуда

\Delta A=F\Delta x=\frac12M2V\Delta V+\frac12m2v\Delta v.

За время $\Delta t$ перемещение мальчика

\Delta x=V\Delta t+v\Delta t.

Запишем закон изменения импульса для санок с цилиндром:

F\Delta t=M\Delta V.

Из последних трех уравнений находим:

M\Delta V=m\Delta v.

В задаче $\Delta V=V$ и $\Delta v=v$ , следовательно, $v=VM/m$ . Тогда

A=FS\left(1+\frac Mm\right).

Оригинал в Архива: final04T.pdf