ВсОШ 2004, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 10.3. · Стакан-поплавок

• $A = \frac{1}{2}MgH\left(1 - \frac{m}{M}\right)^2$

Будем медленно опускать стакан в воду. Для этого к нему нужно прикладывать вертикально вниз силу $F$, уравновешивающую сумму силы Архимеда и силы тяжести, действующих на стакан. Пока в стакане нет воды, $F$ линейно зависит от глубины погружения $x$, причем $F(0) = 0$.

Край стакана сравняется с уровнем жидкости в сосуде при $x = x_1$ (рис. 23). При этом $F(x_1) = Mg - mg = F_0$. По мере дальнейшего опускания стакана в него начнет затекать вода. Сила тяжести, действующая на стакан с жидкостью будет увеличиваться, а $F$ — уменьшаться линейно с $x$. При $x = x_2$ сила $F$ достигнет нулевого значения и стакан утонет:

Нетрудно показать, что это произойдет, когда уровень воды в сосуде станет равным первоначальному, поэтому $x_2 = h$.

Построим график зависимости $F(x)$, $0 \le x \le x_2$ (рис. 24). Совершенной работе соответствует площадь под графиком:

Обратите внимание на то, что результат не зависит от диаметра сосуда.