Съдържание

ВсОШ 2004, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 10.5. · Максимальный КПД цикла (1)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2003/2004 уч.г.

Условие

В тепловой машине в качестве рабочего тела используют идеальный одноатомный газ. Машина работает по циклу (рис. 11), состоящему из изохоры 1-2, изобары 2-3 и процесса 3-1, в котором давление и объем связаны линейной зависимостью. Найдите максимальный КПД $\eta_{\max}$ такого цикла.

Диаграмма p–V: цикл-треугольник 1–2–3 — изохора 1-2 (вертикальный отрезок), изобара 2-3 (горизонтальный), прямая 3-1. — Рис. 11

Отговори

Решение

Пусть $\nu$ — количество газа, $R$ — универсальная газовая постоянная. Система получает теплоту на участках 1-2 и 2-3:

Q_{12} = \nu C_V\Delta T_{21} = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1),

Q_{23} = \nu C_p\Delta T_{32} = \frac{5}{2}\nu R(T_3 - T_2),

где $T_i$ — температура в соответствующем состоянии. Введем коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ :

\alpha = \frac{p_2}{p_1}, \qquad \beta = \frac{V_3}{V_1},

где $p_i$ и $V_i$ — давление и объем в соответствующем состоянии. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона $pV = \nu RT$ , получаем выражение для теплоты, подводимой к системе за цикл:

Q = Q_{12} + Q_{23} = \frac{3}{2}(p_2V_1 - p_1V_1) + \frac{5}{2}(p_2V_3 - p_2V_1) = \frac{3}{2}(\alpha - 1)p_1V_1 + \frac{5}{2}\alpha(\beta - 1)p_1V_1.

Работа газа за цикл равна площади треугольника 1-2-3 в координатах $(V; p)$ :

A = \frac{1}{2}(\alpha - 1)p_1(\beta - 1)V_1.

КПД цикла

\eta = \frac{A}{Q} = \frac{(\alpha - 1)(\beta - 1)}{3(\alpha - 1) + 5(\beta - 1)} = \frac{1}{5} - \left(\frac{\frac{3}{5\beta} + \frac{1}{\alpha} - \frac{8}{5\alpha\beta}}{5 - \frac{2}{\beta} - \frac{3}{\alpha\beta}}\right).

КПД максимален, когда выражение в скобках минимально. Поскольку оно положительно и стремится к 0 при больших $\alpha$ и $\beta$ , то

\eta_{\max} = \frac{1}{5}.

Оригинал в Архива: region04T.pdf