Съдържание

ВсОШ 2004, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 11.3. · Максимальный КПД цикла (2)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2003/2004 уч.г.

Условие

В тепловой машине в качестве рабочего тела используют идеальный одноатомный газ. Машина работает по циклу (рис. 15), состоящему из изобары 1-2, процесса 2-3, в котором давление прямо пропорционально объему, и адиабаты 3-1. Найдите максимальное значение КПД $\eta_{\max}$ такого цикла.

Диаграмма p–V: изобара 1-2 (горизонтальный отрезок вверху), отрезок 2-3 на прямой, проходящей через начало O (продолжение пунктиром), и адиабата 3-1 (кривая). — Рис. 15

Отговори

Решение

Обозначим количество газа в системе через $\nu$ , его молярные теплоемкости при постоянном объеме или давлении через $C_V$ и $C_p$ соответственно. Символом $\Delta$ будем обозначать малые изменения соответствующих величин. Для любого процесса молярная теплоемкость

C = \frac{\Delta Q}{\nu\Delta T} = \frac{\Delta U + \Delta A}{\nu\Delta T},

где $\Delta Q$ — теплота, подведенная к системе, $\Delta T$ — изменение температуры, $\Delta U = \nu C_V\Delta T$ — изменение внутренней энергии, $\Delta A = p\Delta V$ — работа системы. Из закона Менделеева-Клапейрона $pV = \nu RT$ находим

p\Delta V + V\Delta p = \nu R\Delta T.

Отсюда для процесса 2-3 получаем

\Delta V = \frac{\nu R\Delta T}{p + \alpha V} = \frac{\nu R\Delta T}{2p},

где использована линейная связь между давлением и объемом:

p = \alpha V, \qquad \alpha = \mathrm{const}, \qquad \Delta p = \alpha\Delta V.

Подставим выражения для $\Delta U$ и $\Delta A$ в формулу для теплоемкости:

C = \frac{\Delta U + \Delta A}{\nu\Delta T} = \frac{\nu C_V\Delta T + p\frac{\nu R\Delta T}{2p}}{\nu\Delta T} = C_V + \frac{R}{2} = \frac{C_V + C_p}{2}.

Найдем теперь КПД цикла. Пусть $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ — температуры в соответствующих состояниях системы, тогда на участке 1-2 газ получает теплоту

Q_{12} = \nu C_p(T_2 - T_1),

а на участке 2-3 отдает теплоту

Q_{23} = \nu C(T_2 - T_3).

На участке 3-1 теплообмена нет. КПД цикла

\eta = 1 - \frac{Q_{23}}{Q_{12}} = 1 - \frac{C(T_2 - T_3)}{C_p(T_2 - T_1)} = 1 - \frac{C_V/C_p + 1}{2}\left(\frac{1 - T_3/T_2}{1 - T_1/T_2}\right).

В процессе 3-1 над системой совершается работа, поэтому $T_1 > T_3$ . Следовательно, при увеличении $T_2$ выражение в скобках стремится к 1 — своему минимуму. Таким образом,

\eta_{\max} = \frac{1 - C_V/C_p}{2} = 0{,}2,

где использовано $C_V/C_p = 3/5$ .

Оригинал в Архива: region04T.pdf