ВсОШ 2004, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 5. Черный ящик (2)

При замкнутом ключе измерим напряжения $U_{12}$, $U_{23}$ и $U_{13}$ между выводами. Оказывается $U_{12} = U_{23} + U_{13}$, следовательно, батарейка подсоединена к выводам 1 и 2. Пусть $R_1$, $R_2$, $R_3$ — неизвестные сопротивления, а $\mathcal{E}$ — ЭДС батарейки, тогда напряжение между выводами:

Поочередно замкнем проводом пары выводов 1-3 и 2-3 и измерим напряжение между этими парами и оставшимся выводом:

Из полученных формул можно найти отношения

откуда находим отношение $R_1 : R_2 : R_3$. Поскольку сопротивление наименьшего резистора задано, получаем численные значения $R_1$, $R_2$, $R_3$. Отметим, что выводы 1 и 2 можно менять местами, поэтому задача имеет два решения (рис. 5 и 6).

Рекомендации для организаторов. Цепь (рис. 6) помещается в «черный ящик», а ключ — снаружи. Рекомендуется выбрать величины сопротивлений $R_1$ и $R_2$ отличающимися примерно в 2 раза, а величину сопротивления $R_3$ — лежащей в интервале между их значениями, например, $R_1 = 1{,}5$ кОм, $R_2 = 3{,}0$ кОм и $R_3 = 2{,}0$ кОм. Сопротивления резисторов должны быть много больше внутреннего сопротивления батарейки и много меньше сопротивления вольтметра. Вольтметр (например, цифровой мультиметр) должен измерять напряжения в диапазоне от нуля до ЭДС батарейки. Батарейку можно взять «пальчиковую» с ЭДС 1,5 В.