Съдържание

ВсОШ 2004, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Встреча посредине

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

С противоположных концов однородного изначально неподвижного бруска длиной $L$ , лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, навстречу друг другу пустили две маленькие шайбы. Массы шайб $m_1 = m$ и $m_2 = 2m$ , их начальные скорости $v_1 = v_0$ и $v_2 = 2v_0$ ; коэффициенты трения скольжения между бруском и шайбами одинаковы. Шайбы столкнулись на середине бруска через время $\tau = 0{,}4L/v_0$ , имея при этом ненулевые скорости относительно бруска. Найдите массу бруска $M$ и коэффициент трения скольжения шайб по бруску $k$ . Ускорение свободного падения равно $g$ . Будет ли задача иметь решение, если $\tau = 0{,}2L/v_0$ ? $\tau = L/v_0$ ? Ответ обоснуйте.

Отговори

Решение

Совместим начало координат неподвижной системы отсчета с исходным положением первой шайбы и направим ось $Ox$ к другой шайбе. Поскольку по условию обе шайбы имеют ненулевые скорости относительно бруска, на них действуют силы трения скольжения; при этом ускорения шайб в проекции на ось $Ox$ равны $a_{1x} = -kg$ и $a_{2x} = kg$ . На брусок со стороны шайб также действуют силы трения, проекции которых на ось $Ox$ равны $F_{1x} = kmg$ и $F_{2x} = -2kmg$ . Результирующая сила равна $F_x = -kmg$ ; она сообщает бруску ускорение $a_x = -kmg/M$ .

Через время $\tau$ после начала движения координаты шайб будут равны

x_1(\tau) = v_0\tau - \frac{kg\tau^2}{2}; \qquad x_2(\tau) = L - 2v_0\tau + \frac{kg\tau^2}{2};

а координата края бруска, находившегося в начале координат,

x(\tau) = -\frac{kmg}{M}\frac{\tau^2}{2}.

По условию задачи,

x_1(\tau) = x_2(\tau); \qquad x_1(\tau) - x(\tau) = L/2.

Из первого соотношения можно найти $k$ , из второго $M$ :

k = \frac{3v_0\tau - L}{g\tau^2}, \qquad M = m\frac{3v_0\tau - L}{v_0\tau}. \qquad (1)

Однако приведенные рассуждения справедливы только в том случае, если ни одна из шайб не прекратила своего движения относительно бруска.

Поскольку для скоростей шайб и бруска имеем

v_{1x}(\tau) = v_0 - kg\tau, \qquad v_{2x}(\tau) = -2v_0 + kg\tau,

v_x(\tau) = -\frac{kmg}{M}\tau,

должны выполняться условия

v_0 - kg\tau > -\frac{kmg}{M}\tau > -2v_0 + kg\tau,

или

L > v_0\tau, \qquad L > 2v_0\tau. \qquad (2)

Кроме того, коэффициент трения $k$ должен быть положителен, то есть

L < 3v_0\tau. \qquad (3)

Условия (2) и (3) при $\tau = 0{,}4L/v_0$ выполнены, поэтому

k = \frac{v_0^2}{0{,}8gL}; \qquad M = \frac{m}{2}.

При $\tau = 0{,}2L/v_0$ не выполнено условие (3) (коэффициент трения оказывается отрицателен), при $\tau = L/v_0$ — нарушается условие (2) (шайбы не могут встретиться на середине бруска, имея ненулевые скорости относительно бруска). Следовательно, в этих двух случаях задача не имеет решения.

Оригинал в Архива: ok04T.pdf