Съдържание

ВсОШ 2004, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Неидеальный газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Экспериментатор Глюк исследовал неизвестный газ и обнаружил, что он подчиняется уравнению Менделеева–Клапейрона лишь приближенно. Зависимость его давления $p$ от температуры $T$ , объема $V$ и количества молей $\nu$ можно описать формулой

p = \frac{\nu RT}{V} + \frac{\nu^2}{V^2}(bT - a),

где $a$ и $b$ — малые параметры. Глюк предположил, что выражение для внутренней энергии $U$ также немного отличается от формулы в случае идеального газа и имеет вид:

U = \frac{3}{2}\nu RT - \frac{c\nu^2}{V}.

Размышляя над различными способами измерения коэффициента $c$ , Глюк вспомнил, что КПД цикла Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника. Используя это утверждение, он определил значение коэффициента $c$ без проведения измерений. Найдите $c$ , считая известными $a$ и $b$ .

Отговори

Решение

Рассмотрим малый цикл Карно 1234 (рис. 17). При $\Delta T \ll T$ и $\Delta V \ll V$ можно приближенно считать, что совершенная в этом цикле работа равна площади $123'4'$ и пренебречь разностью площадей треугольников $144'$ и $233'$ . Поскольку расстояние между изотермами вдоль изохоры

Диаграмма P–V: две изотермы T и T − ΔT; малый цикл Карно с вершинами 1, 2, 3, 4 и вспомогательными точками 3', 4'; заштрихован параллелограмм 1 2 3' 4'; штриховые вертикали к оси V. — Рис. 17

\Delta p = \Delta T\left(\frac{\nu R}{V} + \frac{\nu^2}{V^2}b\right),

то площадь параллелограмма $123'4'$ соответствует работе

A = \Delta p\Delta V = \Delta T\left(\frac{\nu R}{V} + \frac{\nu^2}{V^2}b\right)\Delta V.

КПД цикла Карно

\eta = \frac{A}{Q_+} = \frac{\Delta T}{T},

откуда теплота, полученная от нагревателя,

Q_+ = T\left(\frac{\nu R}{V} + \frac{\nu^2}{V^2}b\right)\Delta V.

Согласно первому закону термодинамики $Q_+ = U_2 - U_1 + A_+$ , причем работа газа на изотерме $T$

A_+ = \left(\frac{\nu RT}{V} + \frac{\nu^2}{V^2}(bT - a)\right)\Delta V.

Следовательно,

U_2 - U_1 = Q_+ - A_+ = a\frac{\nu^2}{V^2}\Delta V.

По формуле для внутренней энергии из условия

U_2 - U_1 = a\nu^2\left(\frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}\right) \approx c\frac{\nu^2}{V^2}\Delta V.

Сравнивая последние два выражения, находим $c = a$ .

Оригинал в Архива: ok04T.pdf