Съдържание

ВсОШ 2004, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.3. Заряженный дирижабль

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Дирижабль завис над гористой местностью. Из-за естественной ионизации у воздуха имеется некоторая проводимость. Электрический заряд дирижабля уменьшается в 2 раза за каждые $\tau = 10$ мин. Найдите удельное сопротивление $\rho$ воздуха.

Отговори

Решение

Заряд дирижабля зависит от времени следующим образом:

q = q_02^{-t/\tau},

где $q_0$ — начальный заряд.

Дирижабль разряжается током

I = -\frac{dq}{dt} = \frac{\ln 2}{\tau}q. \qquad (1)

Можно показать, что в произвольной точке проводящей среды справедлива следующая связь между плотностью тока $j$ , напряженностью электрического поля $E$ и удельным сопротивлением $\rho$ среды:

j = \frac{E}{\rho}.

Для вывода этой связи возьмем маленький цилиндр длины $L$ и площадью основания $S$ , расположенный вдоль силовой линии поля. Напряжение между торцами цилиндра $U = EL$ , его сопротивление $R = \rho L/S$ . Поэтому

j = \frac{I}{S} = \frac{U}{RS} = \frac{EL}{(\rho L/S)S} = \frac{E}{\rho}.

Окружим мысленно дирижабль замкнутой поверхностью, расположенной вблизи дирижабля. Через малый элемент $\Delta S_k$ этой поверхности идет ток

\Delta I_k = j_k\Delta S_k = \frac{E_k}{\rho}\Delta S_k,

где $E_k$ — напряженность электрического поля, перпендикулярная этому элементу. Суммирование по всем элементам дает

\sum\Delta I_k = \frac{1}{\rho}\sum E_k\Delta S_k.

Поскольку $\sum\Delta I_k = I$ , а по теореме Гаусса $\sum E\Delta S_k = q/\varepsilon_0$ , то

I = \frac{q}{\varepsilon_0\rho}. \qquad (2)

Из (1) и (2) находим

\rho = \frac{\tau}{\varepsilon_0\ln 2} \approx 10^{14}\ \text{Ом}\cdot\text{м}.

Оригинал в Архива: ok04T.pdf