ВсОШ 2004, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 10.5. Посеребренная линза

• $\frac{1}{F_0} = \frac{2}{F_1} + \frac{1}{F_2}$

Пустим на линзу пучок параллельных лучей, составляющих с главной оптической осью системы малый угол $\alpha$. После прохождения линзы лучи окажутся направленными в точку $A$, отстоящую от линзы на расстоянии $F_1$.

Теперь рассмотрим отражение лучей $BA$ и $OA$ от сферического зеркала. Луч $BA$ повернется к точке $F''$, а луч $OA$, отразившись от полюса $O$ зеркала, пройдет через точку $A'$, находящейся над фокусом $F'$ линзы на высоте $H$ (рис. 15). Выразим расстояние $F_3$ от точки $E$, лежащей на пересечении отражённых лучей, до плоскости линзы через $F_1$ и $F_2$. Пусть расстояние от точки $E$ до главной оптической оси системы равно $h$. Тогда

В точке $E$ пересеклись бы все лучи, отразившиеся от зеркала, но на их пути вновь оказывается линза. После того как лучи пройдут сквозь нее, они пересекутся в точке $C$, лежащей в фокальной плоскости системы. Найдем её фокусное расстояние $F_0$. Для этого рассмотрим лучи $DE$ и $OE$, падающие на линзу от зеркала (рис. 16). Луч $OE$ проходит через оптический центр линзы, следовательно он не изменит своего направления. Пусть луч $DE$ распространяется параллельно главной оптической оси, тогда он повернет к точке $F'$. Обозначим расстояние от главной оптической оси до точки $C$ через $h'$. Тогда