Съдържание

ВсОШ 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Три резиновых шнура

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Три резиновых шнура связывают вместе и медленно растягивают в разные стороны (рис. 1). В некоторый момент длины всех трех шнуров оказываются равны $L_1 = 20$ см. Затем шнуры растягивают под другими углами (рис. 2). В этом случае равенство длин шнуров наступает при длине $L_2 = 30$ см каждого из них. Известна начальная длина самого длинного шнура в недеформированном состоянии: $l = 15$ см. Найдите длины двух других шнуров и отношение жесткостей шнуров. Считайте, что резиновые шнуры подчиняются закону Гука.

Три силы натяжения $F_1$, $F_2$, $F_3$, приложенные к узлу; углы между каждой парой шнуров равны 120°. — Рис. 1

Силы $F_1'$ (влево), $F_2'$ (вниз) под прямым углом друг к другу и $F_3'$, направленная вверх-вправо под углом 45° к горизонтали. — Рис. 2

Отговори

Решение

На узелок, связывающий концы шнуров, действуют три силы натяжения шнуров, причем в обоих случаях их сумма равна нулю, следовательно:

F_1 = F_2 = F_3,\qquad F_1' = F_2' = \frac{F_3'}{\sqrt{2}}.

Самый длинный шнур (в недеформированном состоянии) — третий, так как при равном увеличении деформации его сила натяжения возрастает быстрее, следовательно, именно его длина в недеформированном состоянии равна $l$ . Пусть $l_1$ , $l_2$ , $l_3$ — начальные длины шнуров, $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ — их жесткости, тогда для первого и второго способа растяжения шнуров запишем соответственно:

\begin{cases} k_1(L_1 - l_1) = F_1 = F_2 = k_2(L_1 - l_2), \\ k_1(L_2 - l_1) = F_1' = F_2' = k_2(L_2 - l_2). \end{cases}

Поскольку $L_1 \neq L_2$ , то

l_1 = l_2,\qquad k_1 = k_2

Шнуры 1 и 3 получили одинаковое дополнительное растяжение во втором опыте, поэтому:

\frac{k_3}{k_1} = \frac{F_3' - F_3}{F_1' - F_1} = \frac{F_3' - F_3}{\frac{1}{\sqrt{2}}F_3' - F_3} = \frac{L_2 - L_1}{\frac{1}{\sqrt{2}}(L_2 - l) - (L_1 - l)} \approx 1{,}78.

Из условия

k_1(L_1 - l_1) = F_1 = F_3 = k_3(L_1 - l)

найдем

l_1 = L_1 - \frac{k_3}{k_1}(L_1 - l) \approx 11{,}1\ \text{см}.

Оригинал в Архива: final05T.pdf