Съдържание

ВсОШ 2005, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 3 (10 кл.). 10 класс — Свеча горела

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской в теме письма antispam).

Задача	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс
1	Кармазин С.	Слободянин В.	Слободянин В.	Якутский фольклор
2	Подлесный Д.	Панов Е., Чудновский А.	Фольклор	Васильев М.
3	Слободянин В.	Лесничий Я.	Лесничий Я.	По мотивам ЕГЭ-2003
4	Фольклор	Фольклор	По мотивам ЕГЭ-2003	Крымский К.
5	Александров Д.	Александров Д.	Фольклор	Милютин Е.

Подборка задач — Слободянин В.

Общая редакция — Слободянин В., Чудновский А., Самокотин А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Самокотин А., Имакаев М.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 19 декабря 2004 г. в 23:13.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Экспериментатор Глюк пустил плавать по тихому озеру горящую свечу. Чтобы обеспечить ей вертикальную устойчивость, к ее нижнему концу он прикрепил маленький груз (рис. 14). Определите максимальное время $\tau$ горения свечи, если она однородна по всей длине, имеет плотность $\rho=0{,}9\ \text{г/см}^3$ и время полного сгорания $\tau_0=20\ \text{мин}$ . Считайте, что вещество свечи сгорает без остатка. Плотность воды $\rho_0=1{,}0\ \text{г/см}^3$ .

Решение

Пусть $l$ — исходная длина свечи, $x$ — длина выступающей над водой части, $S$ — площадь поперечного сечения свечи (рис. 27). Поскольку при плавании свечи с грузиком в воде сила тяжести $F_{\text{т}}$ , действующая на нее, уравновешена силой Архимеда $F_{\text{а}}$ ,

(M+m)g=\rho_0gS(l-x),\qquad x=l\left(1-\frac\rho{\rho_0}\frac{M+m}M\right),

где $M$ — начальная масса свечи, $m$ — масса грузика. Расстояния от нижнего конца свечи до точек приложения силы Архимеда и силы тяжести равны соответственно

z=\frac{l-x}{2}\quad\text{и}\quad y=\frac{M(l/2)}{M+m}.

Положение свечи с грузом будет устойчивым в воде, если при небольшом ее отклонении от вертикального положения возникает возвращающий момент сил, то есть, если точка приложения действующей на свечу с грузом силы Архимеда выше точки приложения силы тяжести:

\frac{l-x}{2}>\frac{M(l/2)}{M+m},\qquad\frac mM>\sqrt{\frac{\rho_0}\rho}-1.

Время горения свечи будет максимально, когда будет минимальна масса грузика:

m=M\left(\sqrt{\frac{\rho_0}\rho}-1\right).

Поскольку наименьшая достаточная для устойчивого плавания свечи масса грузика уменьшается с уменьшением $M$ , свеча останется устойчивой в течение всего времени горения.

Горение свечи прекратится, когда $x$ обратится в нуль, то есть при массе свечи

M'=m\frac\rho{\rho_0-\rho},

откуда время горения свечи

\tau=\tau_0\left(1-\frac{M'}M\right)=\frac{\tau_0}{1+\sqrt{\rho/\rho_0}}\approx10\ \text{мин}\ 16\ \text{с}.

Оригинал в Архива: region05T.pdf