Съдържание

ВсОШ 2005, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 9.4. Нагревание воды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Внимание: Бележка към темата

Скан брошюры: у левого края некоторых страниц (условия 11 класса и решения) обрезаны начальные буквы строк; обрезанные фрагменты восстановлены по смыслу, неочевидные восстановления отмечены квадратными скобками.

Условие

В стакан с водой с начальной температурой $t_1 = 20$ °C поместили электронагреватель и включили его в сеть. Вода стала нагреваться со скоростью $\mu_1 = 0{,}03$ °C/мин, однако с течением времени скорость $\mu$ уменьшалась, и вода нагрелась только до температуры $t_2 = 80$ °C. Нагреватель выключили. Вода начала остывать со скоростью $\mu_2 = -0{,}04$ °C/мин. Чему равна температура окружающей среды $t_0$ ? Во сколько раз нужно увеличить мощность электронагревателя, чтобы все-таки довести воду до кипения? Считайте, что теплоотдача в окружающую среду пропорциональна разности температур тела и среды.

Отговори

Решение

Поскольку вода за единицу времени получает постоянное количество теплоты от нагревателя и отдает в окружающую среду количество теплоты, пропорциональное разности температур, то скорость $\mu$ нагревания воды при температуре $t$ также складывается из постоянной составляющей $\mu_0$ и переменной составляющей $-\lambda(t - t_0)$ , где $\lambda$ — константа:

\mu = \mu_0 - \lambda(t - t_0). \qquad (2)

При температуре $t = t_2$ нагревание прекратилось, следовательно, $\mu_0 = \lambda(t_2 - t_0)$ . Подставив в (2) выражение для $\mu_0$ , получим $\mu = \lambda(t_2 - t)$ . В начальный момент

\mu_1 = \lambda(t_2 - t_1). \qquad (3)

Если нагреватель выключить, температура воды будет изменяться со скоростью $\mu = -\lambda(t - t_0)$ , в частности,

\mu_2 = -\lambda(t_2 - t_0). \qquad (4)

Решая (3) и (4) совместно, находим

t_0 = t_2 + \frac{\mu_2}{\mu_1}(t_2 - t_1) = 0^{\circ}\mathrm{C}.

При температуре воды $t_3 = 100$ °C теплоотдача в окружающую среду возрастет в $(t_3 - t_0)/(t_2 - t_0) = 1{,}25$ раза по сравнению с рассмотренным случаем $t_2 = 80$ °C. Как минимум в такое же количество раз нужно увеличить мощность нагревателя, чтобы довести воду до кипения.

Справочные данные

Величина	Значение
Скорость света в вакууме	$c = 2{,}998 \cdot 10^{8}$ м/с
Постоянная Планка	$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Гравитационная постоянная	$\gamma = 6{,}672 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²
Элементарный заряд	$e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}$ Ф/м
Магнитная постоянная	$\mu_0 = 1{,}257 \cdot 10^{-6}$ Гн/м
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5{,}670 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴)
Масса электрона	$m_e = 9{,}110 \cdot 10^{-31}$ кг
Атомная единица массы	1 а.е.м. $= 1{,}661 \cdot 10^{-27}$ кг
Универсальная газовая постоянная	$R = 8314$ Дж/(кмоль·К)
Постоянная Авогадро	$N_A = 6{,}022 \cdot 10^{26}$ кмоль⁻¹
Постоянная Больцмана	$k = 1{,}381 \cdot 10^{-23}$ Дж/К
Абсолютный нуль температур	$T_0 = -273{,}15$ °C
Ускорение свободного падения (стандартное)	$g = 9{,}807$ м/с²
Атмосферное давление (нормальное)	$p_0 = 1{,}013 \cdot 10^{5}$ Па
Средняя молярная масса воздуха	$\mu = 29$ кг/кмоль
Масса Солнца	$1{,}989 \cdot 10^{30}$ кг
Радиус Солнца	$6{,}960 \cdot 10^{8}$ м
Расстояние от Солнца до Земли (среднее), астр. единица	$1{,}496 \cdot 10^{11}$ м
Масса Земли	$5{,}976 \cdot 10^{24}$ кг
Радиус Земли (экваториальный)	$6{,}378 \cdot 10^{6}$ м
Расстояние от Земли до Луны (среднее)	$3{,}844 \cdot 10^{8}$ м
Масса Луны	$7{,}350 \cdot 10^{22}$ кг
Радиус Луны (средний)	$1{,}738 \cdot 10^{6}$ м
Молярная масса воды	$\mu = 18$ кг/кмоль
Плотность воды (при 4°C)	1000 кг/м³
Плотность льда (при 0°C)	917 кг/м³
Теплоемкость льда	$2{,}1 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·°C)
Теплота плавления льда	$3{,}350 \cdot 10^{5}$ Дж/кг
Теплоемкость воды	$4{,}18 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·°C)
Теплота парообразования воды	$2{,}256 \cdot 10^{6}$ Дж/кг

Оригинал в Архива: ok05T.pdf