Съдържание

ВсОШ 2006, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 3 (10 кл.). 10 класс — Поршень с рукояткой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание, авторы и время работы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2005/2006 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс
1	Фольклор	Фольклор	Милютин Е.	Слободянин В.
2	Слободянин В.	Карамазин С.	Фольклор	Шведов О.
3	Подлесный Д.	Карамазин С.	Егоров М.	Чудновский А.
4	Сеитов А.	Александров Д.	Шурухин В.	Слободянин В.
5			Прут Э.	Александров Д.

Общая редакция — Слободянин В.

Техническая редакция — Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Самокотин А., Дзябура Е., Гусихин П.

Рецензия — Дунин С., Козел С., Мельниковский Л.

Максимальное время, которое даётся участникам на решение задач, определяется из расчёта «один астрономический час на задачу», то есть в 8 и 9 классах даётся 4 часа, а в 10 и 11 классах — 5 часов.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 24 ноября 2005 г. в 03:45.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Возможные решения — общие критерии

К решениям прилагаются примерные критерии оценивания. При необходимости проверяющие могут их изменить. Каждая задача оценивается из 10 баллов. Любое правильное решение заслуживает максимальной оценки. При отсутствии правильного ответа оцениваются фрагменты решения.

Условие

Экспериментатор Глюк нашёл в сарае старый цилиндр, вблизи дна которого крепился манометр показывающий, что внутри вакуум. Поршень площадью $S=10^{-2}\ \text{м}^2$ закрывал внутренность цилиндра. К середине поршня крепилась рукоятка, плечо которой было в $k=4$ раза больше радиуса поршня (рис. 10). Несмотря на внешнее давление $p_0=10^5\ \text{Па}$ , поршень был неподвижным из-за трения. Чтобы его сдвинуть с места, Глюк начал давить на рукоятку с постоянной по модулю силой перпендикулярной оси цилиндра, и та вместе с поршнем стала медленно поворачиваться. С какой силой $F$ Глюк давил на рукоятку, если при повороте поршня на один оборот она продвинулась вглубь цилиндра на $\Delta y=40\ \text{см}$ . Считайте поршень лёгким.

Решение

Траектория произвольной точки $A$ боковой поверхности поршня — это винтовая линия (рис. 19).

Пусть $v_\parallel$ — составляющая скорости точки $A$ вдоль оси цилиндра, а $v_\perp$ — составляющая в перпендикулярной к оси плоскости. Поскольку сила трения $T$ противонаправлена скорости, то её составляющие по абсолютной величине

\frac{T_\parallel}{T_\perp}=\frac{v_\parallel}{v_\perp}=\frac{\Delta y}{2\pi r},\qquad (6)

где $r=\sqrt{S/\pi}$ — радиус цилиндра.

Поршень движется с постоянной скоростью, поэтому можно применить правило моментов и равенство сил вдоль оси цилиндра:

F\cdot kr=T_\perp\cdot r,\qquad p_0S=T_\parallel.\qquad (7)

Решая уравнения (7) с использованием (6), находим

F=\frac{2\pi r}{k\Delta y}p_0S=\frac{2\sqrt{\pi S}}{k\Delta y}p_0S\approx220\ \text{Н}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Формула $M=4Fr$	1
Формула $M=2\pi r^2F_\perp$	2
Формула $p_0S=F_\parallel$	1
Формула для $\operatorname{tg}\alpha$	2
Формула связывающая радиус поршня и его площадь	1
Окончательное выражение для $F$	2
Численное значение $F$	1

Оригинал в Архива: region06T.pdf