Съдържание

ВсОШ 2006, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Санки с моторчиком

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание, авторы и время работы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2005/2006 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс
1	Фольклор	Фольклор	Милютин Е.	Слободянин В.
2	Слободянин В.	Карамазин С.	Фольклор	Шведов О.
3	Подлесный Д.	Карамазин С.	Егоров М.	Чудновский А.
4	Сеитов А.	Александров Д.	Шурухин В.	Слободянин В.
5			Прут Э.	Александров Д.

Общая редакция — Слободянин В.

Техническая редакция — Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Самокотин А., Дзябура Е., Гусихин П.

Рецензия — Дунин С., Козел С., Мельниковский Л.

Максимальное время, которое даётся участникам на решение задач, определяется из расчёта «один астрономический час на задачу», то есть в 8 и 9 классах даётся 4 часа, а в 10 и 11 классах — 5 часов.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 24 ноября 2005 г. в 03:45.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Возможные решения — общие критерии

К решениям прилагаются примерные критерии оценивания. При необходимости проверяющие могут их изменить. Каждая задача оценивается из 10 баллов. Любое правильное решение заслуживает максимальной оценки. При отсутствии правильного ответа оцениваются фрагменты решения.

Условие

Крокодил Гена с Чебурашкой решили покататься с горы. Гена установил на санки лебёдку с мотором, взял лыжи, и друзья отправились на гору. Там они встали на склон, составляющий с горизонтом угол $\alpha$ . Чебурашка включил мотор, а Гена, взявшись за трос, покатился с горы (рис. 12). С каким ускорением $a$ поехал Гена, если санки с Чебурашкой остались в покое? Масса санок вместе с мотором, лебёдкой и Чебурашкой равна массе Гены вместе с лыжами. Коэффициенты трения между снегом и санками и между снегом и лыжами равны $\mu$ .

Решение

Пусть $m$ — масса Гены вместе с лыжами, $N$ — сила нормальной реакции склона, действующая на него, $T$ — сила натяжения троса, $F_1$ и $F_2$ — силы трения, действующие на Чебурашку (рис. 20) и Гену (рис. 21) соответственно, тогда второй закон Ньютона для них в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ имеет вид:

\begin{array}{ll}Oy:\quad0=N-mg\cos\alpha,&Oy:\quad0=N-mg\cos\alpha,\\Ox:\quad0=mg\sin\alpha-T+F_1,&Ox:\quad ma=T+mg\sin\alpha-F_2.\end{array}\qquad (8)

Поскольку Гена скользит вниз, то сила трения для него определяется однозначно: $F_2=\mu N$ . Чебурашка покоится, поэтому сила трения $F_1$ может принимать значения в диапазоне от $-\mu N$ (при малых $T$ ) до $\mu N$ (при больших $T$ ). Выразим $a$ из системы (8):

a=g\left(2\sin\alpha-\mu\cos\alpha+\frac{F_1}{mg}\right).

Подставляя $F_1=F_{1\min}=-\mu mg\cos\alpha$ и $F_1=F_{1\max}=\mu mg\cos\alpha$ , найдём диапазон возможных значений $a$ :

a_{\min}=2g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha),\qquad a_{\max}=2g\sin\alpha.

Если $\mu>\operatorname{tg}\alpha$ , то $a_{\min}<0$ , то есть Гена скользит вверх. Это противоречие возникло из-за того, что в ходе решения мы использовали фиксированное направление силы $F_2$ (предположив, что Гена скользит вниз). Для устранения противоречия нужно добавить к ответу условие: если $\mu>\operatorname{tg}\alpha$ , то $a_{\min}=0$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Второй закон Ньютона для Чебурашки в проекции на ось $x$	1
Второй закон Ньютона для Чебурашки в проекции на ось $y$	1
Второй закон Ньютона для Гены в проекции на ось $x$	1
Второй закон Ньютона для Гены в проекции на ось $y$	1
Выражение для $F_2$	1
Диапазон для $F_1$	2
Диапазон для $a$	2
Рассмотрение случая $\mu>\operatorname{tg}\alpha$	1

Оригинал в Архива: region06T.pdf