Съдържание

ВсОШ 2006, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 4 (11 кл.). 11 класс — Перезарядка конденсаторов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание, авторы и время работы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2005/2006 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс
1	Фольклор	Фольклор	Милютин Е.	Слободянин В.
2	Слободянин В.	Карамазин С.	Фольклор	Шведов О.
3	Подлесный Д.	Карамазин С.	Егоров М.	Чудновский А.
4	Сеитов А.	Александров Д.	Шурухин В.	Слободянин В.
5			Прут Э.	Александров Д.

Общая редакция — Слободянин В.

Техническая редакция — Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Самокотин А., Дзябура Е., Гусихин П.

Рецензия — Дунин С., Козел С., Мельниковский Л.

Максимальное время, которое даётся участникам на решение задач, определяется из расчёта «один астрономический час на задачу», то есть в 8 и 9 классах даётся 4 часа, а в 10 и 11 классах — 5 часов.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 24 ноября 2005 г. в 03:45.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Возможные решения — общие критерии

К решениям прилагаются примерные критерии оценивания. При необходимости проверяющие могут их изменить. Каждая задача оценивается из 10 баллов. Любое правильное решение заслуживает максимальной оценки. При отсутствии правильного ответа оцениваются фрагменты решения.

Условие

Электрическая цепь состоит из последовательно соединённых резистора, ключа и двух заряженных конденсаторов различной ёмкости (рис. 14). Вначале ключ разомкнут. Затем его замыкают. В итоге через резистор прошёл заряд $q_0=10\ \text{мкКл}$ . Какой заряд $q$ прошёл через резистор к моменту, когда отношение силы тока в цепи к её максимальному значению равнялось $\alpha=0{,}1$ ?

Решение

Пусть $R$ — сопротивление резистора, $C_1$ и $C_2$ — ёмкости конденсаторов. Когда ток прекратится, конденсаторы будут заряжены до одинакового напряжения $U_0$ , а их заряды окажутся равными $q_{10}=C_1U_0$ и $q_{20}=C_2U_0$ .

Рассмотрим произвольный момент, когда ток ещё есть. Заряды $q_1$ и $q_2$ на конденсаторах в этот момент ещё не равны «равновесным» $q_{10}$ и $q_{20}$ , а отличаются от них на $\Delta q$ и $-\Delta q$ (в силу закона сохранения заряда):

q_1=q_{10}+\Delta q,\qquad q_2=q_{20}-\Delta q.

Следовательно, напряжения на конденсаторах $U_1=q_1/C_1$ , $U_2=q_2/C_2$ , а сила тока через резистор:

\begin{aligned}I&=\frac{U_1-U_2}{R}=\frac1R\left(\frac{q_1}{C_1}-\frac{q_2}{C_2}\right)=\frac1R\left(\frac{q_{10}+\Delta q}{C_1}-\frac{q_{20}-\Delta q}{C_2}\right)=\\&=\frac1R\left(U_0+\frac{\Delta q}{C_1}-U_0-\frac{-\Delta q}{C_2}\right)=\frac{\Delta q}{R}\left(\frac1{C_1}+\frac1{C_2}\right)\sim\Delta q.\end{aligned}\qquad (12)

Таким образом, ток в произвольный момент времени прямо пропорционален заряду, которому ещё предстоит протечь через резистор от этого момента до установления равновесия в цепи.

В момент замыкания ключа $I(0)=I_0$ , $\Delta q(0)=q_0$ . Когда сила тока уменьшилась до $I(t)=\alpha I_0$ , осталось протечь заряду $\Delta q(t)=q_0-q$ . Из (12) следует

\frac{I(t)}{I(0)}=\frac{\Delta q(t)}{\Delta q(0)},\quad\text{то есть}\quad\frac{\alpha I_0}{I_0}=\frac{q_0-q}{q_0},\quad\text{откуда}\quad q=(1-\alpha)q_0=9\ \text{мкКл}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Применение соотношения $q=CU$	1
Применение закона сохранения заряда	1
Вывод пропорциональности между $I$ и $\Delta q$	4
Запись пропорции между силой тока и зарядом	2
Выражение для $q$	1
Численный ответ	1

Оригинал в Архива: region06T.pdf