Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Дифракция и дисперсия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур

Условие

1. Используя дифракционную решётку, определите границы (максимальную $\lambda_{\max}$ и минимальную $\lambda_{\min}$ длины волн) спектра излучения выданного вам источника в видимой области.

2. С помощью щели направьте узкий пучок света на одну из граней призмы (рис. 5). Подберите угол падения $\varphi_1$ так, чтобы пучок проходил симметрично через призму ( $\varphi_1 = \varphi_2$ для средней части спектра). Получите на экране спектр источника и измерьте углы отклонения $\delta(\lambda_{\max})$ и $\delta(\lambda_{\min})$ для границ спектра источника. Рассчитайте угловую дисперсию призмы $\Delta\delta/\Delta\lambda$ при симметричном ходе лучей.

Треугольная призма с углом α при вершине; луч падает на левую грань под углом φ1, проходит через призму и выходит из правой грани под углом φ2; пунктиром продолжены падающий и выходящий лучи, угол отклонения между ними обозначен δ. — Рис. 5

3. Рассмотрите ход луча с некоторой длиной волны в призме и выразите показатель преломления $n$ материала призмы через углы $\alpha$ и $\delta$ при симметричном ходе лучей. Рассчитайте показатель преломления призмы для средней части спектра.

4. Оцените дисперсию показателя преломления $\Delta n/\Delta\lambda$ .

Оборудование. Источник света, призма, дифракционная решётка (100 штр/мм), прищепки, экран со щелью, миллиметровая бумага.

Решение

Спектральный состав излучения источника определяем при помощи дифракционной решётки. Схема опыта показана на рисунке 13.

Схема опыта: источник (звёздочка) слева, лучи от него проходят через щель в экране к дифракционной решётке («диф. решётка»), дифрагированный луч идёт под углом φ к пунктирной оси к глазу справа; подписи «источник», «экран», «диф. решётка», «глаз», φ. — Рис. 13

Для отсчёта углов возле щели на экране расположим полоску миллиметровой бумаги перпендикулярно щели и направлению распространения световых лучей. Границы спектра определяем по формуле дифракционной решётки $d\sin\varphi = k\lambda$ , где $d$ — период решетки, $k$ — порядок спектра. Для $\varphi \ll 1$

\sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi = \frac{x}{L},

где $x$ — расстояние от щели до границы спектра, $L$ — расстояние от решётки до экрана.

Положим призму на лист миллиметровой бумаги и обведём контур карандашом. Направляем свет от источника через щель на призму, как показано на рисунке 14. Карандашом зарисовываем на миллиметровке ход лучей до и после преломления в призме. Убираем призму. Продолжаем лучи до пересечения (как показано пунктиром на рисунке в условии задачи). При помощи миллиметровки измеряем максимальный и минимальный углы отклонения. Вычисляем

Источник (звёздочка) внизу слева, луч проходит через щель между двумя наклонными отрезками и падает на треугольную призму; из призмы выходят расходящиеся цветные (красный и синий) лучи. — Рис. 14

\frac{\Delta\delta}{\Delta\lambda} = \frac{\delta(\lambda_{\max}) - \delta(\lambda_{\min})}{\lambda_{\max} - \lambda_{\min}}.

Для преломления на границе «воздух-стекло»:

\sin\varphi_1 = n\sin\psi_1. \qquad (2)

Призма с углом α при вершине; луч падает под углом φ1, внутри призмы идёт горизонтально, углы преломления ψ1 и ψ2, выходит под углом φ2; пунктиром продолжены лучи, угол отклонения δ. — Рис. 15

При симметричном ходе лучей (рис. 15)

\psi_1 = \psi_2 = \frac{\alpha}{2}, \qquad (3)

\delta = (\varphi_1 - \psi_1 + \varphi_2 - \psi_2) = (\varphi_1 + \varphi_2) - (\psi_1 + \psi_2) = 2\varphi_1 - \alpha. \qquad (4)

Таким образом,

n = \frac{\sin\left(\frac{\alpha+\delta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \qquad (5)

Поскольку полученная формула справедлива только для средней части спектра, дисперсию показателя преломления можно оценить, например, из следующих соображений. Чтобы ход лучей для границ спектра стал симметричным, нужно повернуть призму так, чтобы выполнялось условие $\varphi_1 = \varphi_2$ сначала для $\lambda_{\max}$ , затем для $\lambda_{\min}$ . При этом изменение величины угла отклонения $\delta$ для каждой длины волны при поворотах призмы будет пренебрежимо малым по сравнению с $\Delta\delta = \delta(\lambda_{\max}) - \delta(\lambda_{\min})$ . Поэтому можно повернуть призму мысленно и использовать в формулах (2) и (3) $(\varphi_1 + \varphi_2)/2$ вместо $\varphi_1$ . Таким образом получаем то же соотношение между $\delta$ и показателем преломления $n$ для любой части спектра, что и для средней части при симметричном ходе лучей (формула (5)). По формуле (5) находим $n(\lambda_{\max})$ и $n(\lambda_{\min})$ . Вычисляем искомую дисперсию

\frac{n(\lambda_{\max}) - n(\lambda_{\min})}{\lambda_{\max} - \lambda_{\min}}.

Заметим, что эта величина отрицательная!

Рекомендации для организаторов.

В качестве источника света можно использовать светодиодные фонарики (брелки) со сплошным спектром излучения в видимой области.
Ширина щели в экране и характеристики источника света должны позволять формировать достаточно яркий, узкий, практически не расходящийся пучок света.
Необходимо подобрать призмы, дающие широкий спектр для данного источника. Хорошо подходят призмы из флинтовых сортов стекла.
В качестве экрана для получения изображения спектра предполагается использовать загнутый край миллиметровки.
Рекомендуется выдать тонко отточенный карандаш для нанесения необходимых пометок на миллиметровку и выполнения построений.
Необходимо, чтобы при выполнении эксперимента на миллиметровке чётко просматривался ход лучей.
Прищепки нужны для установки дифракционной решетки и фиксации кнопки включения фонарика.

Оригинал в Архива: final06E.pdf