Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (9 кл.). 9 класс — Максимальная амплитуда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Брусок массой $M$ , покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из груза массой $m$ и лёгкой длинной пружины, связаны лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный неподвижный блок (рис. 1). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола $\mu=0{,}3$ . Отношение массы бруска к массе груза $M/m=8$ . Груз совершает вертикальные колебания с периодом $T=0{,}5\ \text{с}$ . Какова максимально возможная амплитуда $A_m$ таких колебаний, при которых они остаются гармоническими?

Решение

Из условия равновесия маятника $kx_0=mg$ , где $k$ — жёсткость пружины, находим её удлинение при равновесии $x_0=mg/k$ . Из формулы для периода гармонических колебаний маятника

T=2\pi\sqrt{\frac mk}\quad\text{выражаем}\quad\frac mk=\frac{T^2}{4\pi^2},\quad\text{откуда}\quad x_0=\frac{gT^2}{4\pi^2}.

Колебания груза остаются гармоническими, если совместно выполнены два условия:

в процессе колебаний груза брусок остаётся неподвижным;
нить всё время натянута, поэтому груз нигде не переходит в режим свободного падения.

Из первого условия следует, что в крайнем нижнем положении груза, когда удлинение пружины $x_1=x_0+A$ , сила натяжения нити, равная по модулю упругой силе пружины, недостаточна для того, чтобы сдвинуть брусок:

kx_1=kx_0+kA\leq mg+kA_1=\mu Mg,

откуда

A\leq A_1=\left(\mu\frac Mm-1\right)g\frac{T^2}{4\pi^2}=8{,}8\ \text{см}.

Из второго условия следует, что в крайнем верхнем положении груза, когда удлинение пружины $x_1=x_0-A$ , нить не провисает, откуда

A\leq A_2=x_0=\frac{gT^2}{4\pi^2}=6{,}3\ \text{см}.

Второе условие более сильное, следовательно,

A_m=6{,}3\ \text{см}.

Оригинал в Архива: final06T.pdf