Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Разорвавшийся снаряд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Пушечный снаряд массой $M=100\ \text{кг}$ разорвался в некоторой точке траектории на два осколка, разлетевшихся с импульсами $p_1=3{,}6\cdot10^4\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$ и $p_2=2{,}4\cdot10^4\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$ . Импульсы осколков направлены под углом $\alpha=60^\circ$ друг к другу. Определите, при каком отношении масс осколков выделившаяся при взрыве кинетическая энергия будет минимальной. Найдите эту энергию.

Решение

Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы осколков, $M=m_1+m_2$ — первоначальная масса снаряда. По закону сохранения импульса

\vec p_0=\vec p_1+\vec p_2\quad\text{или}\quad p_0^2=p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos\alpha.

Кинетическая энергия до и после взрыва соответственно равны:

E_{\text{нач}}=\frac{p_0^2}{2M}=\frac{p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos\alpha}{2(m_1+m_2)},\qquad E_{\text{кон}}=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}.

Выделившаяся при взрыве кинетическая энергия

E=E_{\text{кон}}-E_{\text{нач}}=\left(\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}\right)-\frac{p_1^2+p_2^2+2p_1p_2\cos\alpha}{2(m_1+m_2)}.

После преобразования будем иметь

E=\frac{p_1^2k+p_2^2\frac1k-2p_1p_2\cos\alpha}{2M},\qquad\text{где}\quad k=\frac{m_2}{m_1}.

Для нахождения $E_{\min}$ приравняем нулю производную:

\frac{dE}{dk}=\frac1{2M}\left(p_1^2-p_2^2\frac1{k^2}\right)=0.

Отсюда

k=\frac{p_2}{p_1}=\frac23.

Подставляя найденное значение $k$ в выражение для $E$ , получим

E_{\min}=\frac{p_1p_2(1-\cos\alpha)}M=4{,}32\cdot10^6\ \text{Дж}.

Оригинал в Архива: final06T.pdf