Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (9 кл.). 9 класс — Курсирующий катер

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

По реке, скорость течения которой $u$ , навстречу друг другу плывут два однотипных теплохода. В некоторый момент времени, когда один из теплоходов проплывал мимо пункта $A$ , а другой — мимо пункта $B$ , из $A$ в $B$ отплыл быстроходный катер, который стал курсировать между теплоходами вплоть до их встречи. Какой путь $L_x$ относительно берега реки проплыл катер? Расстояние от $A$ до $B$ вдоль фарватера реки $L$ . В стоячей воде скорость теплоходов равна $v$ , а катера $V$ . Пункт $A$ находится выше пункта $B$ по течению реки. Как изменится ответ, если катер стартует из пункта $B$ ?

Решение

Средняя скорость катера $v_{\text{ср}}$ на участке реки от одного теплохода до другого и обратно — величина постоянная. Поэтому искомый путь, пройденный катером, равен произведению этой скорости на общее время его курсирования: $t_0=L/2v$ . Найдём $v_{\text{ср}}$ . Время, затраченное катером на путь до первой встречи с теплоходом $B$ , равно

t_1=\frac L{v+V}.

Пусть катер стартует по течению реки, тогда за время $t_1$ он преодолеет расстояние

L_1=t_1(V+u)=L\frac{V+u}{v+V},

а вышедший вместе с ним теплоход $A$ проплыл расстояние

L_T=t_1(v+u)=L\frac{v+u}{v+V}.

Когда катер повернул обратно, расстояние между ним и теплоходом $A$ составляло

L_{KT}=L_1-L_T=t_1((V+u)-(v+u))=L\frac{V-v}{v+V}.

На путь до встречи с теплоходом $A$ потребовалось время

t_2=\frac{L_{KT}}{v+V}=L\frac{V-v}{(v+V)^2}.

За это время катер покрыл расстояние

L_2=t_2(V-u)=L\frac{(V-u)(V-v)}{(v+V)^2}.

Средняя скорость катера

v_{\text{ср}}=\frac{L_1+L_2}{t_1+t_2}=\frac{V^2+uv}{V}.

Из этой формулы видно, что средняя скорость катера относительно берегов не зависит от расстояния между теплоходами. Отсюда находим искомый путь

L_x=v_{\text{ср}}t_0=L\frac{V^2+uv}{2vV}.

Если бы катер стартовал против течения реки, то во всех формулах следовало бы заменить $u$ на $(-u)$ . В этом случае

L_x=v_{\text{ср}}t_0=L\frac{V^2-uv}{2vV}.

Оригинал в Архива: final06T.pdf