Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Шайба на привязи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Круглый вертикальный цилиндр радиусом $R$ прикреплён к горизонтальной плоскости (рис. 9). Внизу с боковой поверхностью цилиндра соединена нерастяжимая нить длиной $L$ , направленная по касательной к поверхности цилиндра. На другом конце нити закреплена маленькая шайба. Шайбе сообщают горизонтальную скорость $v_0$ , направленную перпендикулярно нити, и шайба начинает скользить по плоскости.

1. Сколько времени будет продолжаться движение шайбы (наматывание нити на цилиндр) в отсутствие трения?

2. Сколько времени будет продолжаться движение шайбы при наличии трения между шайбой и плоскостью? Коэффициент трения равен $\mu$ .

Решение

Пусть нить отклонилась на некоторый малый угол $d\varphi$ (рис. 21). Тогда свободная часть нити укоротилась на $dl=Rd\varphi$ , шайба прошла путь $dS=ld\varphi\approx ldl/R$ , а путь, пройденный шайбой до столкновения с цилиндром

S=\int_0^L\frac{l\,dl}R=\frac{L^2}{2R}.

Поскольку трения нет, то кинетическая энергия шайбы, а значит, и её скорость останется неизменной. Поэтому искомое время

t=\frac{L^2}{2Rv_0}.

При наличии трения шайба движется по дуге с тангенциальным ускорением $a=-\mu g$ . Двигаясь с таким ускорением, свободная шайба прошла бы путь $S_1=v_0^2/\mu g$ . Поэтому здесь возможны два случая:

а. Если $S\geq S_1$ , или $v_0\leq L\sqrt{\mu g/R}$ , то шайба до цилиндра не дойдёт или соприкоснётся с ним без удара. Время её движения в этом случае

t_a=\frac{v_0}{\mu g};

б. Если $S\leq S_1$ , то шайба, пройдя путь $S$ , столкнётся с цилиндром или соприкоснётся с ним без удара. Время движения шайбы найдём из формулы для пути при равнозамедленном движении:

S=\frac{L^2}{2R}=v_0t-\frac{\mu gt^2}{2}\quad\text{откуда}\quad t^2-2\frac{v_0}{\mu g}t+\frac{L^2}{\mu gR}=0.

Квадратное уравнение имеет корни:

t_{1,2}=\frac{v_0}{\mu g}\pm\sqrt{\left(\frac{v_0}{\mu g}\right)^2-\frac{L^2}{\mu gR}}.

Искомое время $t_{\text{б}}$ должно быть меньше времени $t_a=v_0/\mu g$ , необходимого для полной остановки шайбы. Поэтому

t_{\text{б}}=\frac{v_0}{\mu g}-\sqrt{\left(\frac{v_0}{\mu g}\right)^2-\frac{L^2}{\mu gR}}=\frac{v_0}{\mu g}\left(1-\sqrt{1-\frac{\mu gL^2}{v_0^2R}}\right).

При $S=S_1$ времена $t_a$ и $t_{\text{б}}$ одинаковы.

Оригинал в Архива: final06T.pdf