Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (10 кл.). 10 класс — Наибольший КПД

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Рассмотрите два цикла (рис. 6), совершаемых над идеальным газом. В первом из них газ адиабатически сжимают из состояния 1 до состояния 2, затем изотермически расширяют до состояния 3 и наконец изохорически возвращают в исходное состояние 1. КПД такого цикла обозначим $\eta_V$ . Во втором цикле газ адиабатически сжимают из состояния 1 до состояния 2, затем изотермически расширяют до состояния 4 и наконец изобарически возвращают в исходное состояние 1. КПД такого цикла обозначим $\eta_p$ . Сравните $\eta_V$ и $\eta_p$ .

Примечание. В адиабатическом процессе $pV^\gamma=\mathrm{const}$ , где $\gamma=C_p/C_V$ . При изотермическом расширении идеального газа от объёма $V_a$ до объёма $V_b$ им совершается работа $A_{ab}=\nu RT\ln(V_b/V_a)$ .

Решение

Будем обозначать физические величины, соответствующие определённым состояниям, подстрочными индексами. По определению,

\eta_V=1-\frac{Q_{31}}{Q_{23}},\qquad\eta_p=1-\frac{Q_{41}}{Q_{24}},

где $Q_{31}$ — теплота, выделившаяся на участке 3-1, $Q_{23}$ — теплота, выделившаяся на участке 2-3, $Q_{41}$ — теплота, выделившаяся на участке 4-1, $Q_{24}$ — теплота, выделившаяся на участке 2-4. Здесь

Q_{31}=\nu C_V(T_2-T_1),\qquad Q_{23}=A_{23}+U_{23}=\nu RT_2\ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right),

где $A_{23}$ — работа газа на участке $2-3$ , $U_{23}$ — изменение внутренней энергии газа на участке $2-3$ , причём $U_{23}=0$ , так как $2-3$ — изотерма. С учётом равенства $V_3=V_1$ , запишем

Q_{23}=\nu RT_2\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right).

Теперь воспользуемся уравнением адиабаты: $p_1V_1^\gamma=p_2V_2^\gamma$ , откуда

\frac{V_1}{V_2}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/\gamma}.

После подстановки этого соотношения в выражение для $Q_{23}$ получим:

Q_{23}=\nu RT_2\frac1\gamma\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\nu RT_2\frac{C_V}{C_p}\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right).

Коэффициент полезного действия

\eta_V=1-\frac{C_p(T_2-T_1)}{RT_2\ln(p_2/p_1)}.\qquad (5)

Аналогичным образом находим

Q_{41}=\nu C_p(T_2-T_1),\qquad Q_{24}=\nu RT\ln\left(\frac{V_4}{V_2}\right).

Точки (2) и (4) лежат на одной изотерме, следовательно $\nu RT_2=p_2V_2=p_4V_4$ , откуда

\frac{V_4}{V_2}=\frac{p_2}{p_4}.

С учётом равенства $p_4=p_1$ для $\eta_p$ окончательно запишем:

\eta_p=1-\frac{C_p(T_2-T_1)}{RT_2\ln(p_2/p_1)}.\qquad (6)

Из (5) и (6) видно, что $\eta_p=\eta_V$ .

Оригинал в Архива: final06T.pdf