Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (10 кл.). 10 класс — Притяжение одноимённых зарядов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Распространено мнение, что тела с одноимёнными зарядами всегда отталкиваются друг от друга. Вовсе нет! Такой эффект наблюдается далеко не всегда. Представьте себе, что сплошной металлический шар радиуса $R$ распилили пополам, а получившиеся половины сблизили плоскими сторонами так, что зазор $d$ между ними оказался предельно мал ( $d\ll R$ ). Найдите силу электростатического взаимодействия полушарий с одноимёнными зарядами $q_1$ и $q_2$ (рис. 7). При каком отношении зарядов они будут притягиваться?

Примечание. Сила, действующая на единицу поверхности заряженного проводника произвольной формы, связана с напряжённостью электрического поля вблизи поверхности тем же соотношением, что и в плоском конденсаторе.

Решение

В пределе при малом зазоре суммарный заряд полушарий $Q=q_1+q_2$ равномерно распределён по сферической поверхности. Заряды же на плоских поверхностях полушарий равны $q$ и $-q$ , причём

q=q_1-\frac Q2=\frac{q_1-q_2}{2}.

Можно считать, что эти поверхности образуют плоский конденсатор. В этом приближении напряжённость электрического поля в зазоре между гранями

E_C=\frac q{\varepsilon_0\cdot\pi R^2},

а вблизи (снаружи) сферической поверхности

E_R=\frac Q{4\pi\varepsilon_0R^2}.

Заметные отклонения напряжённости поля от приведённых выше величин будут наблюдаться только в малой окрестности у краёв плоских поверхностей, но в пределе «нулевого» зазора они не скажутся на искомой силе взаимодействия.

Поле, создаваемое каждой из плоских поверхностей,

E_{C1}=\frac q{2\pi\varepsilon_0R^2},

а сила, с которой они притягиваются,

F_C=qE_{C1}=\frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0R^2}.

Взаимодействие между зарядами на внешних поверхностях полусфер можно заменить эффективным давлением $p$ , действующим на них. Сила взаимодействия между зарядами, находящимися на внешних поверхностях полусфер, $F_R=Sp$ , где $S=\pi R^2$ , а давление

p=\sigma\frac{E_R}{2}.

Отсюда

F_R=\pi R^2\left(\frac Q{4\pi R^2}\frac{E_0}{2}\right)=\frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0R^2}.

Результирующая сила

F_R=\frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0R^2}-\frac{q^2}{2\varepsilon_0\pi R^2}=\frac{Q^2-(4q)^2}{32\pi\varepsilon_0R^2}=\frac{(Q-4q)(Q+4q)}{32\pi\varepsilon_0R^2}.

После подстановки значений $Q$ и $q$ окончательно получим

F_R=\frac{(3q_2-q_1)(3q_1-q_2)}{32\pi\varepsilon_0R^2}.

Притяжение полусфер будет возникать при одноимённых зарядах на них в случае, когда заряды отличаются больше чем втрое.

Оригинал в Архива: final06T.pdf