Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 10. Муха в паутине

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

11 класс

Паук сплёл паутинку в виде правильного шестиугольника со стороной $l = 45$ см (рис. 5), и закрепил крайние точки радиальных нитей радиусом $r = 0{,}01$ мм так, что сила их натяжения оказалась равна $F_0 = 6$ мН. Считайте деформации паутины упругими, а её модуль Юнга $E = 2 \cdot 10^8$ Па. При относительном удлинении, превышающем $\varepsilon_{\mathrm{max}} = 0{,}2$ , нить паутины рвётся.

Паутина в виде правильного шестиугольника: шесть радиальных нитей из центра к вершинам и вложенные концентрические шестиугольники; справа размерная стрелка $l$ вдоль стороны шестиугольника. — Рис. 5

1. Найдите максимальную массу $M$ мухи, которая, попав в паутину, не порвёт её, если скорость мухи $v = 2$ м/с. Считайте, что муха попадает в центр паутины перпендикулярно её плоскости.

2. В центр паутины попалась муха массой $m = 0{,}1$ г. Найдите период $T$ малых колебаний мухи вдоль перпендикуляра к плоскости паутины Попав в паутину, махать крыльями муха не может

Отговори

Решение

При попадании мухи в центр паутины перпендикулярно её плоскости будут растягиваться только радиальные нити. Из закона Гука находим их начальное относительное удлинение

\varepsilon_0 = \frac{F_0}{ES},

где $S = \pi r^2$ — площадь поперечного сечения нити паутины.

Максимальную массу $M$ мухи найдём из условия, что муха остановилась, когда натяжение паутины достигло предельного значения. Энергия упругой деформации 6 радиальных нитей при относительном удлинении $\varepsilon$ имеет вид:

W = 6 \cdot \frac{E\varepsilon^2}{2} \cdot Sl.

Напомним попутно, что $E\varepsilon^2/2$ имеет смысл плотности энергии деформации. Из закона сохранения энергии

\frac{Mv^2}{2} + 6 \cdot \frac{E\varepsilon_0^2}{2} \cdot Sl = 6 \cdot \frac{E\varepsilon_{\mathrm{max}}^2}{2} \cdot Sl \qquad (12)

получим

M = \frac{6ESl}{v^2}\left(\varepsilon_{\mathrm{max}}^2 - \varepsilon_0^2\right) = \frac{6\pi r^2lE}{v^2}\left(\varepsilon_{\mathrm{max}}^2 - \frac{F_0^2}{\pi^2r^4E^2}\right) \approx 1{,}3\ \text{г}.

При малых колебаниях можно пренебречь возникающим переменным удлинением радиальных нитей по сравнению с начальным $\varepsilon_0$ , так как по теореме Пифагора это удлинение будет порядка второй степени малого смещения $x$ мухи (перпендикулярного плоскости паутины). Возвращающая сила $F$ создаётся проекциями 6 радиальных сил $F_0$ на направление колебаний:

F \approx -6 \cdot F_0 \cdot \frac{x}{\sqrt{l^2 + x^2}} \approx -\frac{6F_0}{l} \cdot x.

Таким образом, эффективная жёсткость $k = 6F_0/l$ , а период колебаний

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{6F_0}} \approx 0{,}22\ \text{с}.

Критерии оценивания

Начальное относительное удлинение нитей — 2
Закон сохранения энергии при столкновении мухи с паутиной — 2
Окончательное выражение для $M$ — 1
Численное значение $M$ — 1
Выражение для возвращающей силы при колебаниях — 2
Окончательное выражение для $T$ — 1
Численное значение $T$ — 1

Оригинал в Архива: ok06T.pdf