Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 9. Комплект пластин

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Четыре пластины 1, 2, 3 и 4 площадью $S$ расположены параллельно друг другу на расстояниях $(1 - x)l$ , $xl$ и $(1 - x)l$ , малых по сравнению с размерами пластин (рис. 4). К пластинам 1 и 3 подключены батарейка с ЭДС $\mathcal{E}$ , резистор $R_1$ и ключ $K_1$ , к пластинам 2 и 4 — ключ $K_2$ и резистор $R_2$ . В начальный момент времени ключи разомкнуты, пластины незаряжены.

Четыре вертикальные параллельные пластины 1, 2, 3, 4; расстояния между ними $l(1 - x)$, $lx$, $l(1 - x)$. Сверху пластины 1 и 3 соединены через батарейку $\mathcal{E}$, резистор $R_1$ и ключ $K_1$; снизу пластины 2 и 4 соединены через ключ $K_2$ и резистор $R_2$. — Рис. 4

1. Ключ $K_1$ замыкают. Какими будут заряды на пластинах после установления равновесия? Какое количество теплоты $Q_0$ выделится на резисторе $R_1$ ?

2. После установления равновесия замыкают ключ $K_2$ . Найдите установившиеся заряды на пластинах и суммарное количество теплоты $Q$ , которое выделится на резисторах $R_1$ и $R_2$ после замыкания ключа $K_2$ .

Отговори

Решение

Рассмотрим равновесное состояние системы после замыкания первого ключа. Пластина 1 заряжается до некоторого заряда $q_{01}$ , пластина 3 — до противоположного заряда $-q_{01}$ , пластины 2 и 4 остаются незаряженными. Напряженность электрического поля между пластинами 1 и 3 равна $E_0 = q_{01}/(\varepsilon_0S)$ , разность потенциалов между ними $E_0l$ совпадает с ЭДС батарейки:

\mathcal{E} = \frac{q_{01}l}{\varepsilon_0S}.

Следовательно, на пластине 1 устанавливается заряд

q_{01} = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}}{l}.

Выделяющееся в данном процессе количество теплоты $Q_0$ рассчитывается из закона сохранения энергии, как разность работы источника

W_{0\text{бат}} = q_{01}\mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}^2}{l}

и конечной электростатической энергии

W_{0\text{эл}} = \frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}Sl = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}^2}{2l}

Следовательно,

Q_0 = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}^2}{2l}.

Рассмотрим теперь второй этап процесса, после замыкания ключа $K_2$ . В этом процессе происходит перераспределение зарядов как между пластинами 1 и 3, так и между пластинами 2 и 4. Пусть $q_1$ и $q_2$ — установившиеся заряды на пластинах 1 и 2, тогда заряды на пластинах 3 и 4 равны $-q_1$ и $-q_2$ соответственно. Напряженности электрического поля между пластинами 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 соответственно равны:

E_{12} = \frac{q_1}{\varepsilon_0S}, \qquad E_{23} = \frac{q_1 + q_2}{\varepsilon_0S}, \qquad E_{34} = \frac{q_2}{\varepsilon_0S}.

Разность потенциалов между пластинами 2 и 4 должна быть равна нулю:

0 = E_{23}lx + E_{34}l(1 - x),

откуда $q_2 = -q_1x$ . Разность потенциалов между пластинами 1 и 3 равна $\mathcal{E}$ :

\mathcal{E} = E_{12}l(1 - x) + E_{23}x,

следовательно,

q_1 = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}}{l(1 - x^2)}, \qquad q_2 = -q_1x = -\frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}x}{l(1 - x^2)}.

Конечная электростатическая энергия системы

W_{\text{эл}} = Sl(1 - x)\frac{\varepsilon_0E_{12}^2}{2} + Slx\frac{\varepsilon_0E_{23}^2}{2} + Sl(1 - x)\frac{\varepsilon_0E_{34}^2}{2} =

= \frac{l}{2\varepsilon_0S}(q_1^2 + q_2^2 + 2xq_1q_2) = \frac{\varepsilon_0S}{2l}\frac{\mathcal{E}^2}{1 - x^2}.

Её изменение на втором этапе

W_{\text{эл}} - W_{0\text{эл}} = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}^2x^2}{2l(1 - x^2)}.

Работа батарейки на втором этапе

W_{\text{бат}} = \mathcal{E}(q_1 - q_{01}) = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}^2x^2}{l(1 - x^2)}.

Следовательно, на резисторах выделится количество теплоты

Q = \frac{\varepsilon_0S\mathcal{E}^2x^2}{2l(1 - x^2)}.

Критерии оценивания

Окончательное выражение для $q_{01}$ — 1
Работа источника после замыкания $K_1$ — 1
Электростатическая энергия после замыкания $K_1$ — 1
Окончательное выражение для $Q_0$ — 1
Напряжённости поля между пластинками — 1
Разность потенциалов между пластинками 1 и 3 — 1
Разность потенциалов между пластинками 2 и 4 — 1
Конечная электростатическая энергия системы — 1
Работа источника после замыкания $K_2$ — 1
Окончательное выражение для $Q$ — 1

Оригинал в Архива: ok06T.pdf