Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 8. Труба различного диаметра

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Сосуд, состоящий из двух цилиндрических участков разного диаметра, запаян с узкого конца. Широкой частью он насажен на гладкий неподвижный поршень (рис. 3). Образовавшаяся герметичная полость частично заполнена водой, так что вода присутствует и в верхней части сосуда, а остальной объём занимает воздух при давлении $p_0 = 140$ кПа. Система находится в равновесии. На торец узкой части сосуда поместили гирю массой, равной массе пустого сосуда. Когда система вновь пришла в равновесие при неизменной температуре, оказалось, что сосуд опустился на $\Delta h = 7$ см. Найдите в этом состоянии высоту $x$ столба воздуха в сосуде. Полная длина узкой части сосуда $H = 5$ м, площадь её поперечного сечения составляет $\alpha = 0{,}1$ от площади сечения широкой части. Атмосферное давление $p_{\text{атм}} = 1$ атм $= 100$ кПа.

Вертикальный сосуд: длинная узкая трубка сверху переходит в широкую часть снизу, насаженную на неподвижный поршень со штоком. Вода заполняет широкую часть и нижний участок трубки; стрелками отмечены полная длина узкой части $H$ и высота столба воздуха $x$. — Рис. 3

Отговори

Решение

По вертикали на сосуд действуют несколько сил: сила атмосферного давления, сила тяжести, сила давления воздуха под крышкой, сила давления воды на горизонтальный участок на стыке верхней и нижней частей сосуда, а во втором состоянии — ещё и вес гири. Пусть $M$ — масса сосуда, $x_0$ — высота столба воздуха в начальном состоянии, $S$ и $s$ — площади поперечных сечений соответственно сосуда и трубы. Запишем условие равновесия для начального состояния:

-p_{\text{атк.}}S - Mg + p_0s + (p_0 + \rho g(H - x_0))(S - s) = 0,

или в приведённом виде

\rho g(H - x_0)(1 - \alpha) + p_0 - p_{\text{атм}} - \frac{Mg}{S} = 0. \qquad (9)

Воздух был при одной и той же температуре в обоих состояниях, поэтому его давление в конечном состоянии $p_1 = p_0x_0/x$ . Аналогично (9) запишем условие равновесия для конечного состояния:

\rho g(H - x)(1 - \alpha) + p_0\frac{x_0}{x} - p_{\text{атм}} - \frac{2Mg}{S} = 0. \qquad (10)

Исключим $Mg/S$ из (9) и (10):

\rho g(H - 2x_0 + x)(1 - \alpha) + 2p_0 - p_0\frac{x_0}{x} - p_{\text{атм}} = 0. \qquad (11)

Из несжимаемости воды следует соотношение между опусканием сосуда и уменьшением высоты столба воздуха: $S\Delta h = s(x_0 - x)$ . После подстановки $x_0 = x + \Delta h/\alpha$ в (11) и приведения получим:

\rho g(1 - \alpha)x^2 - \left(\rho g(1 - \alpha)\left(H - 2\frac{\Delta h}{\alpha}\right) + p_0 - p_{\text{атм}}\right)x + p_0\frac{\Delta h}{\alpha} = 0,

откуда

x_{\pm} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4\rho g(1 - \alpha)p_0\Delta h/\alpha}}{2\rho g(1 - \alpha)},

где

b = \rho g(1 - \alpha)\left(H - 2\frac{\Delta h}{\alpha}\right) + p_0 - p_{\text{атм}} = 71{,}75\ \text{кПа}.

Подставив численные значения, получим $x_+ = 6{,}40$ м, $x_- = 1{,}74$ м. Корень $x_+ > H$ не имеет смысла, поэтому искомая высота $x = x_- = 1{,}74$ м.

Критерии оценивания

Условие равновесия для начального состояния — 2
Выражение для $p_1$ — 1
Условие равновесия для конечного состояния — 2
Соотношение между $\Delta h$ , $x_0$ и $x$ — 1
Окончательное выражение для $x$ — 2
Численное значение $x$ — 1
Исключение корня $x > H$ — 1

Оригинал в Архива: ok06T.pdf