Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 7. Микротрещина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

На поверхность планеты, атмосфера которой имеет среднюю молярную массу $\mu = 43$ г/моль и состоит только из аргона и углекислого газа (молярные массы $\mu_1 = 40$ г/моль и $\mu_2 = 44$ г/моль соответственно), опустился космический аппарат с вакуумированной полостью. От удара о поверхность планеты в стенке полости образовалась микротрещина, размеры которой меньше длины свободного пробега молекулы. Через неё в полость начал поступать газ из атмосферы планеты. Определите отношение $\alpha$ концентраций аргона и углекислого газа в полости космического аппарата через малый промежуток времени после образования микротрещины. Для простоты вычислений считайте, что все молекулы газа имеют одинаковую кинетическую энергию.

Отговори

Решение

За малое время $\Delta t$ изменение количества атомов аргона в полости равно

\Delta N_1 = \frac{1}{6}n_1v_1S\Delta t, \qquad (4)

где $n_1$ — концентрация аргона в атмосфере, $v_1$ — скорость атомов аргона в атмосфере, $S$ — площадь микротрещины. Аналогично, изменение количества молекул углекислого газа в полости за тот же промежуток времени равно

\Delta N_2 = \frac{1}{6}n_2v_2S\Delta t, \qquad (5)

где $n_2$ — концентрация молекул углекислого газа в атмосфере, $v_2$ — скорость молекул углекислого газа в атмосфере. Поскольку отношение концентраций газов в полости равно отношению количеств их молекул, то с учётом (4) и (5) получаем

\alpha = \frac{\Delta N_1}{\Delta N_2} = \frac{n_1v_1}{n_2v_2}. \qquad (6)

Найдём отношение концентраций аргона и углекислого газа в атмосфере. Рассмотрим объём газа $V$ . Средняя молярная масса газа в этом объёме

\mu = \frac{\mu_1\frac{n_1V}{N_A} + \mu_2\frac{n_2V}{N_A}}{\frac{n_1V}{N_A} + \frac{n_2V}{N_A}} = \frac{\mu_1n_1 + \mu_2n_2}{n_1 + n_2},

где $N_A$ — число Авогадро, откуда

\frac{n_1}{n_2} = \frac{\mu_2 - \mu}{\mu - \mu_1}. \qquad (7)

Выразим скорости молекул через их кинетическую энергию $E$ :

v_1 = \sqrt{\frac{2E}{m_1}}, \qquad v_2 = \sqrt{\frac{2E}{m_2}},

где $m_1$ и $m_2$ — массы атомов аргона и молекул углекислого газа соответственно. Поскольку

m_1 = \frac{\mu_1}{N_A}, \qquad m_2 = \frac{\mu_2}{N_A}, \qquad \text{то} \qquad \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}}. \qquad (8)

Подставив (7) и (8) в (6), получим

\alpha = \frac{\mu_2 - \mu}{\mu - \mu_1}\sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}} \approx 0{,}35.

Примечание. Более точный расчёт даёт в формулах (4) и (5) коэффициент 1/4 вместо 1/6, однако на ответ это не влияет.

Критерии оценивания

Изменение количества атомов аргона в полости в единицу времени — 1
Изменение количества атомов углекислого газа в единицу времени — 1
Связь между $\mu$ , $\mu_1$ и $\mu_2$ — 2
Выражение для отношения концентраций газов в атмосфере — 2
Связь между скоростями молекул газа и их энергиями — 1
Выражение для отношения скоростей молекул газов — 1
Окончательное выражение для $\alpha$ — 1
Численное значение $\alpha$ — 1

Оригинал в Архива: ok06T.pdf