ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 6. Обруч и клин

• 1. $a_1 = \frac{g\sin\alpha}{2} = \frac{g}{2\sqrt{2}}$
• 2. $\mu = 1/7$
• 3. $a_2 = \frac{g}{7}$

1. Обозначим через $v$ скорость центра масс обруча, через $y$ — его высоту. Энергия обруча складывается из кинетической энергии $mv^2/2$ поступательного движения и энергии $mv^2/2$ вращательного движения, а также потенциальной энергии $mgy$ в поле тяжести. Следовательно, по закону сохранения энергии

После дифференцирования по времени и замены $\dot{y} = v_y = v\sin\alpha$ получим:

2. Со стороны обруча на клин действует сила

с проекциями $F_x = -ma_1\cos\alpha = mg/4$, $F_y = -mg + ma_1\sin\alpha = -3mg/4$, откуда сила реакции, действующая на клин со стороны горизонтальной поверхности, $N = 7mg/4$. Чтобы клин не двигался, необходимо, чтобы $\mu N \geqslant mg/4$. Значит, минимальное значение $\mu = 1/7$.

3. Пусть $v_x$ и $v_y$ — проекции скорости обруча, $V$ — скорость клина. Поскольку обруч катится по клину без отрыва, то

Из закона сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось следует:

Запишем закон сохранения энергии:

где $E_{\text{п}} = mgy$ — потенциальная энергия обруча, $E_{\text{кл}} = mV^2/2$ — кинетическая энергия клина, $E_{\text{пост}} = m(v_x^2 + v_y^2)/2$ — энергия поступательного движения обруча, $E_{\text{вр}} = mu^2/2$ — энергия вращательного движения обруча, где $u$ — скорость точек обруча в системе отсчёта связанной с центром обруча. Поскольку эта скорость

то, продифференцировав (3) по времени, с учётом (1) и (2) получим

Критерии оценивания

• Закон сохранения энергии для 1-го случая — 1
• Окончательное выражение выражение для $a_1$ — 1
• Проекции силы, действующей на клин со стороны обруча на оси $x$ и $y$ — 2
• Значение $\mu$ — 1
• Условие качения обруча без отрыва от клина в случае гладкой поверхности — 1
• Связь между $v_x$ и $V$ — 1
• Закон сохранения энергии в случае гладкой поверхности — 2
• Окончательное выражение для $a_2$ — 1