Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 5. Длинная пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

10 класс

К невесомой пружине, имеющей 500 витков, подвесили груз, в результате чего она удлинилась на $x_0 = 10$ см. Затем груз убрали и нерастяжимыми нитями связали виток №100 с витком №300, а виток №200 с витком №400 (рис. 2). Длина каждого куска нити равна длине участка пружины между связываемыми витками в свободном состоянии. На какую величину $x$ удлинится пружина при наличии нитей, если к ней подвесить тот же груз?

Вертикальная пружина, подвешенная к потолку (штриховка сверху), с грузом-квадратом внизу; отмечены витки №100, №200, №300, №400; нить соединяет витки №100 и №300, другая нить — витки №200 и №400. — Рис 2

Отговори

Решение

Если при наличии нитей растягивать участок пружины между витками №100 и №400, то происходит не только растяжение участков между витками №100 и №200 и между №300 и №400, но и сжатие участка между витками №200 и №300. Пружина в целом не теряет упругих свойств при удалении любых двух из этих трёх участков (№100-№200, №200-№300, №300-№400), что означает, что они фактически являются параллельными. Вся система из пружин и ниток эквивалентна системе (рис. 11), где пружина 1 соответствует участку между витками №1 и №100, 2 — между №100 и №200, 3 — между №200 и №300, 4 — между №300 и №400, 5 — между №400 и №500.

Пусть $k_0$ — жёсткость пружины при отсутствии нитей. Жёсткость куска пружины обратно пропорциональна числу его витков, поэтому жёсткость любого участка, содержащего 100 витков (в частности между началом первого витка и витком №100),

k_1 = \frac{500}{100}k_0 = 5k_0.

Участок между витками №100 и №400 является, как уже было показано, параллельным соединением трёх участков по 100 витков, а его жёсткость

k_2 = 3k_1 = 15k_0.

Последний участок (между витками №400 и №500) имеет жёсткость

k_3 = k_1 = 5k_0.

Пружина в целом состоит из трёх последовательных участков (№100-№200, №200-№400, №400-№500), поэтому её жёсткость при наличии нитей

k = \left(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_3}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{5k_0} + \frac{1}{15k_0} + \frac{1}{5k_0}\right)^{-1} = \frac{15}{7}k_0.

Удлинение пружины обратно пропорционально её жёсткости, поэтому

x = \frac{k_0}{k}x_0 = \frac{7}{15}x_0 \approx 4{,}7\ \text{см}.

Критерии оценивания

Нахождение эквивалентной системы пружин — 4
Связь между жёсткостью пружины и количеством витков в ней — 2
Выражение для жёсткости параллельно соединённых пружин — 1
Выражение для жёсткости последовательно соединённых пружин — 1
Окончательное выражение для $x$ — 1
Численное значение $x$ — 1

Эквивалентная система пружин: к потолку подвешена пружина 1, к ней — горизонтальная планка (метки №100 и №300), от которой вниз идут три параллельные пружины 2, 3, 4 до второй планки (метки №200 и №400); от неё — пружина 5 с грузом-квадратом. — Рис. 11

Оригинал в Архива: ok06T.pdf