Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 4. Вращающееся зеркало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Экран $AB$ и плоское зеркало $AD$ образуют две боковые грани прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Вдоль ребра $C$ проходит ось вращения небольшого плоского зеркальца $M$ , которое равномерно вращается и совершает один оборот за время $T = 12$ мин. Из небольшого отверстия в ребре $A$ в центр этого зеркальца светит луч лазера (рис. 1). Какое время $t$ в течение одного оборота зеркальца лазерный зайчик $Z$ скользит по экрану $AB$ ?

Вид сверху: квадрат $ABCD$; сторона $AB$ — экран (сплошная линия), сторона $AD$ — зеркало со штриховкой, стороны $BC$ и $CD$ пунктирные. В вершине $C$ — зеркальце $M$ со штриховкой; из $A$ луч идёт к $C$ и, отразившись, попадает в точку $Z$ на экране $AB$. — Рис. 1

Отговори

Решение

Лазерный зайчик может скользить по экрану $AB$ как в результате отражения лазерного луча непосредственно от зеркальца $M$ , так и при последовательном отражении от зеркальца $M$ и зеркала $AD$ . На рисунке 10 дуга $KNP$ представляет собой геометрическое место изображений лазера, излучение от которых попадёт на экран $AB$ . Угол $\angle NCP = 45^{\circ}$ . Пусть длина экрана равна $L$ . Тогда длина отрезка $EC = L\sqrt{5}$ . Величину угла $\varphi = \angle NCK$ найдём по теореме синусов:

\frac{L}{\sin\varphi} = \frac{L\sqrt{5}}{\sin 135^{\circ}},

откуда $\sin\varphi = 1/\sqrt{10}$ , $\varphi \approx 18{,}4^{\circ}$ .

Следовательно, угловая мера дуги $KNP = 45^{\circ} + 18{,}4^{\circ} = 63{,}4^{\circ}$ , а угол поворота $\alpha$ зеркальца $M$ будет в два раза меньше, то есть $\alpha = 31{,}7^{\circ}$ . Искомое время движения зайчика по экрану найдём из пропорции:

\frac{t}{T} = \frac{\alpha}{360^{\circ}}, \qquad \text{откуда} \qquad t \approx 63\ \text{с}.

Критерии оценивания

Определение положений $M$ , при которых луч сразу попадает на $AB$ — 1
Определение положения точки $E$ — 2
Нахождение угла $\varphi$ — 3
Нахождение угла $\alpha$ — 2
Окончательное выражение для $t$ — 1
Численное значение $t$ — 1

Квадрат с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$; зеркало $AD$ со штриховкой, в вершине $C$ зеркальце $M$. Ход лучей от $A$ к $C$, затем к зеркалу $AD$ и на экран $AB$; угол $\varphi$ у точки $C$. Ниже $A$ отложен отрезок $L$ до точки $E$ (изображение), угол $135^{\circ}$ у $A$; пунктирные линии из $E$ через $C$ к точкам $K$ и $N$ дуги $KNP$ с центром $C$; точка $P$ на продолжении $BC$; угол $\varphi$ между направлениями на $K$ и $N$. — Рис. 10

Оригинал в Архива: ok06T.pdf