Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11. Работа при смешивании газов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

В цилиндре, температура которого $T$ поддерживается постоянной, находятся $\nu_X$ молей идеального газа $X$ и $\nu_Y$ молей идеального газа $Y$ . В цилиндр вдвинуты два полупроницаемых поршня (рис. 6), первый из которых пропускает только молекулы газа $X$ , второй — только молекулы газа $Y$ . В начальный момент времени поршни расположены так, что они касаются друг друга и чистые вещества $X$ и $Y$ занимают объёмы $V_{X0}$ и $V_{Y0}$ . Поршни начинают медленно раздвигать, и в конце процесса образуется смесь газов $X$ и $Y$ объёма $V_{X0} + V_{Y0}$ . Какая суммарная работа $A$ совершается газами в данном процессе?

Примечание. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = 1/x$ и прямыми $y = 0$ , $x = x_1$ и $x = x_2$ составляет $S(x_1,x_2) = \ln\frac{x_2}{x_1}$ .

Прямоугольный цилиндр с двумя поршнями (пунктирные вертикальные линии со штоками, выходящими влево и вправо); слева область $X$, в середине $X + Y$, справа $Y$. — Рис 6

Отговори

Решение

Пусть $V_X$ — объём, занимаемый чистым веществом $X$ (слева от поршней), $V_Y$ — объём, занимаемый чистым веществом $Y$ (справа от поршней), $V_{XY}$ — объём смеси газов $X$ и $Y$ . При этом газ $X$ равномерно распределен по объёму $V_1 = V_X + V_{XY}$ , газ $Y$ — по объёму $V_2 = V_{XY} + V_Y$ . На левый поршень со стороны газов действует сила давления $p_2 = \nu_YRT/V_2$ газа $Y$ , на правый поршень — сила давления $p_1 = \nu_XRT/V_1$ газа $X$ . Следовательно, при малом раздвижении поршней газы совершат работу

\Delta A = p_1\Delta V_1 + p_2\Delta V_2 = \nu_XRT\frac{\Delta V_1}{V_1} + \nu_YRT\frac{\Delta V_2}{V_2}.

Суммарная работа, совершаемая газами, представляется в виде суммы

A = \sum\Delta A = \nu_XRT\sum\frac{\Delta V_1}{V_1} + \nu_YRT\sum\frac{\Delta V_2}{V_2}.

Каждый равен площади соответствующей криволинейной трапеции:

\sum\frac{\Delta V_1}{V_1} = S(V_{01},V_1'). \quad \sum\frac{\Delta V_2}{V_2} = S(V_{02},V_2'),

где $V_{01}$ , $V_{02}$ — начальные значения объёмов $V_1$ , $V_2$ , $V_1'$ , $V_2'$ — их конечные значения. Отсюда

A = \nu_XRT\ln\frac{V_1'}{V_{01}} + \nu_YRT\ln\frac{V_2'}{V_{02}}.

Учтём, что

V_{10} = V_{X0}, \qquad V_{20} = V_{Y0}, \qquad V_1' = V_2' = V_{X0} + V_{Y0}.

Отсюда получим:

A = \nu_XRT\ln\frac{V_{X0} + V_{Y0}}{V_{X0}} + \nu_YRT\ln\frac{V_{X0} + V_{Y0}}{V_{Y0}}.

Критерии оценивания

Выражение для $p_1$ — 2
Выражение для $p_2$ — 2
Работа газов при малом раздвижении поршней — 2
Нахождение площадей соответствующих криволинейных трапеций — 2
Окончательное выражение для $A$ — 2

Оригинал в Архива: ok06T.pdf