Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 12. Мыльный пузырь

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Найдите скорость $u$ уменьшения радиуса $R$ мыльного пузыря при его сдувании через трубку радиусом $r \ll R$ . Объём трубки пренебрежимо мал по сравнению с объёмом пузыря, воздух в пузыре можно считать неподвижным. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора $\sigma$ . Считайте, что при истечении из пузыря воздух ведёт себя как идеальная невязкая несжимаемая жидкость плотностью $\rho$ .

Отговори

Решение

Поверхностное натяжение мыльной плёнки создает в пузыре дополнительное давление, равное

\Delta p = 2 \cdot \frac{2\sigma}{R} = \frac{4\sigma}{R}, \qquad (13)

так как у плёнки две поверхности. Работа, совершаемая мыльной плёнкой, идёт на сообщение кинетической энергии вытекающему воздуху:

\Delta p\Delta V = \frac{\Delta mv^2}{2},

где $\Delta V$ — уменьшение объёма мыльного пузыря, $\Delta m$ — масса вытесненного воздуха, $v$ — скорость движения воздуха в трубке. Отсюда

\frac{\rho v^2}{2} = \Delta p, \qquad v = \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}, \qquad (14)

где $\rho = \Delta m/\Delta V$ — плотность воздуха. Скорость уменьшения объёма $V$ пузыря

\frac{dV}{dt} = vS, \qquad (15)

где $S = \pi r^2$ — площадь поперечного сечения трубки. Подставив в (15) выражение для объёма пузыря $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ , а также выражения (13) и (14), получим

4\pi R^2\frac{dR}{dt} = \sqrt{\frac{8\sigma}{\rho R}} \cdot \pi r^2, \qquad \text{откуда} \qquad u = \frac{dR}{dt} = \frac{r^2}{R^{5/2}}\sqrt{\frac{\sigma}{2\rho}}.

Критерии оценивания

Давление, создаваемое мыльной плёнкой — 2
Закон сохранения энергии — 2
Скорость движения воздуха на выходе из трубки — 2
Скорость изменения объёма пузыря — 2
Окончательное выражение для $u$ — 2

Оригинал в Архива: ok06T.pdf