Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 13. Проводящая сфера

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Внутри тонкостенной незаряженной проводящей сферы радиусом $R$ находится точечный заряд $Q_1$ на расстоянии $R/3$ от центра сферы $O$ (рис. 7). Снаружи сферы находится точечный заряд $Q_2$ на расстоянии $2R$ от центра сферы. Сфера расположена на расстоянии от Земли значительно большем $R$ и соединена с Землёй через источник с ЭДС $\mathcal{E}$ и ключ $K$ . Потенциал Земли примите равным нулю.

Окружность (сфера) с центром $O$ и радиусом $R$ (стрелка); внутри — заряд $Q_1$ на расстоянии $R/3$ от $O$; снаружи — заряд $Q_2$ на расстоянии $2R$ от $O$. Снизу сфера соединена через ключ $K$ и источник $\mathcal{E}$ с заземлением. — Рис 7

1. Найдите потенциал $\varphi$ в центре сферы при разомкнутом ключе $K$ .

2. Найдите заряд $Q$ сферы после замыкания ключа $K$ и наступления равновесия.

Отговори

Решение

До замыкания ключа заряды на внутренней и внешней поверхностях сферы распределяются неравномерно, но их суммарный заряд равен нулю. Потенциал в центре сферы

\varphi = k\frac{Q_1}{R/3} + k\frac{Q_2}{2R} = \frac{k}{R}\left(3Q_1 + \frac{Q_2}{2}\right).

После замыкания ключа на внутренней и внешней поверхностях сферы появятся заряды $q_1$ и $q_2$ . Причём $q_1 = -Q_1$ Найдём $q_2$ Потенциал сферы равен $\mathcal{E}$ и создаётся зарядами $Q_2$ и $q_2$ , так как заряды $Q_1$ и $q_1$ вне сферы поля не создают. Уберём мысленно заряды $Q_1$ и $q_1$ . Распределение заряда $q_2$ при этом не изменится. В поле, создаваемом зарядами $Q_2$ и $q_2$ , потенциал сферы (равный $\mathcal{E}$ ) равен потенциалу в центре сферы:

k\frac{q_2}{R} + k\frac{Q_2}{2R} = \mathcal{E}.

Откуда

q_2 = \frac{\mathcal{E}R}{k} - \frac{Q_2}{2} = 4\pi\varepsilon_0\mathcal{E}R - \frac{Q_2}{2}.

Q = q_1 + q_2 = -Q_1 - \frac{Q_2}{2} + 4\pi\varepsilon_0R\mathcal{E}.

Критерии оценивания

Суммарный заряд на сфере до замыкания ключа равен нулю — 1
Окончательное выражение для $\varphi$ — 2
Величина заряда на внутренней поверхности сферы — 1
Мысленное удаление $Q_1$ и $q_1$ — 2
Потенциал сферы после замыкания $K$ — 1
Потенциал в центре сферы в поле зарядов $Q_2$ и $q_2$ — 1
Нахождение заряда на внешней поверхности сферы — 1
Окончательное выражение для $Q$ — 1

Оригинал в Архива: ok06T.pdf