Съдържание

ВсОШ 2007, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Вертушка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации.

Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
7	Александров Д.	Подлесный Д.	Фольклор	Фольклор	—
8	Фольклор	Слободянин В.	Фольклор	Подлесный Д.	—
9	Фольклор	Александров Д.	Шведов О.	Русаков А., Сухов В.	—
10	Иванов Г.	Русаков А., Сухов В.	ЕГЭ-2004	Фольклор	Калда Я.
11	Иоголевич И.	Киселёв А.	Радар Ю.	Слободянин В.	Перунов Н., Андреев И.

Общая редакция — Слободянин В., Александров Д.

Оформление и вёрстка — Андреев И., Гусихин П., Гущин И., Ерофеев И., Федотов Ю.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 января 2007 г. в 03:03.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Вертушка (тонкая пластина с большим количеством отверстий) прикреплена к вертикальной оси (рис. 8). Такую вертушку раскрутили до угловой скорости $\omega_0$ и отпустили. На любую единичную площадку пластины (но не на отверстия) действует сила сопротивления воздуха, создающая избыточное давление, которое, из-за наличия в вертушке отверстий, пропорционально скорости этой площадки. Коэффициент пропорциональности $\alpha$ для всех элементарных площадок одинаков. Вычислите число оборотов $N$ , которое совершит вертушка до полной остановки. Масса единичной площадки пластины (без дыр) равна $\rho$ . Трением в опорах оси пренебречь.

Решение

Рассмотрим маленькую площадку $S$ без отверстий отдельно от вертушки. Пусть её угловая скорость равна $\omega$ , и она находится на расстоянии $R$ от оси вращения, следовательно, линейная скорость равна $v=\omega R$ . Тогда можно связать тангенциальное ускорение площадки с силой сопротивления:

\rho S\frac{dv}{dt}=-\alpha Sv,\qquad\text{или}\quad\frac{dv}{dt}=-\frac\alpha\rho v.

Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$ . Из предыдущего выражения следует, что для этого промежутка выполняется соотношение:

\Delta v=-\frac\alpha\rho v\Delta t=-\frac\alpha\rho L,

где $\Delta v$ — изменение скорости за время $\Delta t$ , $L$ — путь, пройденный площадкой за время $\Delta t$ . Для движения по окружности $\Delta v=\Delta\omega R$ , $L=\Delta\varphi R$ , где $\Delta\omega$ — изменение угловой скорости, а $\Delta\varphi$ — угол, на который поворачивается площадка за время $\Delta t$ , откуда

\Delta\omega=-\frac\alpha\rho\Delta\varphi,

поэтому соотношение для угла поворота $\varphi$ площадки:

\omega-\omega_0=-\frac\alpha\rho\varphi,\quad\text{и окончательно}

N=\frac\varphi{2\pi}=\frac{\rho\omega_0}{2\pi\alpha}.

Так как этот результат не зависит от радиуса $N$ , он справедлив для любой площадки, а поэтому и для всей вертушки.

Система оценивания

Критерий	Баллы
Второй закон Ньютона для малой площадки	2
Пропорциональность ускорения линейной скорости	2
Пропорциональность угла поворота изменению угловой скорости	3
Окончательная формула для $N$	3

Оригинал в Архива: region07T.pdf