Съдържание

ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (11 кл.). 11 класс — Столкновение дисков

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Санкт-Петербург, 2007 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Фольклор	Слободянин В.	Соболев М.	Козел С.	—
10	Воробьёв И.	Фольклор	Козел С.	Плис В.	Козел С.
11	Козел С.	Воробьёв И., Ершов А.	Дельцов В.	Малеев А.	Жак С.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Гущин И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 11 марта 2008 г. в 13:18.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $\mu$ находятся два одинаковых малых диска с гладкой боковой поверхностью. Первый диск покоился, а второй налетел на него со скоростью $\vec v$ в момент удара. Считая столкновение дисков упругим, но не обязательно лобовым, найдите, на каком расстоянии окажутся диски к моменту их остановки, если первый диск остановился, пройдя расстояние $x_1$ . Чему равно наибольшее и наименьшее возможные конечные расстояния между дисками при данных значениях модуля скорости $v$ и коэффициента трения $\mu$ ?

Размерами дисков пренебречь. Ускорение свободного падения $g$ .

Решение

Сохранение импульса в случае равных масс дисков даёт $\vec v_1+\vec v_2=\vec v$ , где $\vec v_1$ и $\vec v_2$ — векторы скорости дисков после удара, а $\vec v$ — вектор скорости налетевшего диска до удара. Таким образом, векторы составляют треугольник, указанный на рис. 27.

Сохранение энергии при упругом столкновении даёт $v_1^2+v_2^2=v^2$ (сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей). Отсюда следует, что угол между конечными скоростями прямой. Прямым будет и угол между отрезками $x_1$ и $x_2$ , пройденными дисками после столкновения.

Первый диск проходит до остановки расстояние $x_1$ , откуда $v_1^2=2\mu gx_1$ . Для второго диска имеем $v_2^2=2\mu gx_2$ . Из закона сохранения энергии можно получить $x_1+x_2=L=\dfrac{v^2}{2\mu g}$ . По теореме Пифагора квадрат расстояния между дисками после их остановки

R^2=x_1^2+x_2^2=2x_1^2-2Lx_1+L^2=2x_1^2-\frac{x_1v^2}{\mu g}+\frac{v^4}{4\mu^2g^2}.

Для ответа на второй вопрос рассмотрим это выражение как функцию $x_1$ (рис. 28). Понятно, что $L\geqslant x_1\geqslant0$ . На концах интервала $R^2$ принимает наибольшее значение, тогда $R=L=v^2/(2\mu g)$ . Наименьшее значение достигается при $x_1=L/2$ , тогда

R^2=\frac{L^2}2,\qquad R=\frac L{\sqrt2}=\frac{v^2}{2\sqrt{2\mu g}}.

Случай $x_1=0$ соответствует скользящему столкновению, случай $x_1=L$ — лобовому.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Векторная запись закона сохранения импульса	2
Обоснование того, что угол между скоростями прямой	2
Формулы для расстояний, пройденных дисками	2
Формула квадрата расстояния между дисками после их остановки	1
Исследование экстремальных значений расстояния	3

Оригинал в Архива: final07T.pdf