Съдържание

ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2 (10 кл.). 10 класс — Кривизна траектории Луны

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Санкт-Петербург, 2007 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Фольклор	Слободянин В.	Соболев М.	Козел С.	—
10	Воробьёв И.	Фольклор	Козел С.	Плис В.	Козел С.
11	Козел С.	Воробьёв И., Ершов А.	Дельцов В.	Малеев А.	Жак С.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Гущин И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 11 марта 2008 г. в 13:18.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В астрономии за единицу длины принято среднее расстояние $R$ от Земли до Солнца, называемое астрономической единицей (1 а.е.). В геоцентрической системе отсчёта, связанной с Землёй, Луна вращается по круговой орбите радиуса $r_\text{л}=2{,}57\cdot10^{-3}\ \text{а.е.}$ В гелиоцентрической системе траектория нашего естественного спутника выглядит гораздо более сложно, поскольку Луна вращается вокруг Земли, которая в свою очередь вращается вокруг Солнца (вращение происходит в одну сторону). Вычислите радиусы кривизны $r_\text{п}$ и $r_\text{н}$ траектории Луны в гелиоцентрической системе отсчета во время полнолуния и новолуния. Ответ выразите в астрономических единицах. Отметьте качественно положение соответствующих центров кривизны ( $O_\text{п}$ и $O_\text{н}$ ) на рисунке 6, на котором изображены Солнце и Земля. Отношение массы Земли к массе Солнца $m_\text{з}/m_\text{с}=3\cdot10^{-6}$ .

Решение

Пусть $v_\text{з}$ — скорость Земли в гелиоцентрической системе отсчёта, $v_\text{л}$ — скорость Луны в геоцентрической системе отсчёта. Тогда справедливы следующие выражения для центростремительных ускорений Земли $a_\text{з}$ в гелиоцентрической системе отсчёта и Луны $a_\text{л}$ в геоцентрической системе отсчёта:

a_\text{з}=\frac{v_\text{з}^2}{R}=G\frac{m_\text{с}}{R^2},\qquad a_\text{л}=\frac{v_\text{л}^2}{r_\text{л}}=G\frac{m_\text{з}}{r_\text{л}^2},\qquad (1)

где $G$ — гравитационная постоянная. Отсюда получаем

v_\text{л}=v_\text{з}\sqrt{\frac{m_\text{з}}{m_\text{с}}\frac R{r_\text{л}}}.\qquad (2)

В гелиоцентрической системе имеем

\frac{(v_\text{з}+v_\text{л})^2}{r_\text{п}}=G\left(\frac{m_\text{с}}{(R+r_\text{л})^2}+\frac{m_\text{з}}{r_\text{л}^2}\right),\qquad\frac{(v_\text{з}-v_\text{л})^2}{r_\text{н}}=G\left(\frac{m_\text{с}}{(R-r_\text{л})^2}-\frac{m_\text{з}}{r_\text{л}^2}\right).

С учётом (1) и (2) получаем:

r_\text{п}=R\frac{\frac{r_\text{л}}R\left(\sqrt{\frac{r_\text{л}}R}+\sqrt{\frac{m_\text{з}}{m_\text{с}}}\right)^2}{\left(\frac{r_\text{л}}R\right)^2+\frac{m_\text{з}}{m_\text{с}}\left(1+\frac{r_\text{л}}R\right)^2}\approx0{,}73\ \text{а.е.},

r_\text{н}=R\frac{\frac{r_\text{л}}R\left(\sqrt{\frac{r_\text{л}}R}-\sqrt{\frac{m_\text{з}}{m_\text{с}}}\right)^2}{\left(\frac{r_\text{л}}R\right)^2-\frac{m_\text{з}}{m_\text{с}}\left(1-\frac{r_\text{л}}R\right)^2}\approx1{,}70\ \text{а.е.}

Схематическое положение соответствующих центров кривизны показано на рисунке 20. Следует заметить, что траектория Луны в гелиоцентрической системе всюду выпукла.

Система оценивания

Критерий	Баллы
Выражение для $a_\text{з}$	1
Выражение для $a_\text{л}$	1
Связь между $r_\text{п}$ , $v_\text{з}$ и $v_\text{л}$	1
Связь между $r_\text{н}$ , $v_\text{з}$ и $v_\text{л}$	1
Окончательная формула для $r_\text{п}$	1
Окончательная формула для $r_\text{н}$	1
Численное значение $r_\text{п}$	1
Численное значение $r_\text{н}$	1
Положение $O_\text{п}$ и $O_\text{н}$ на рисунке	2

Оригинал в Архива: final07T.pdf