ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3 (11 кл.). 11 класс — Теплотрасса

Рассмотрим малый участок трубы $\Delta x$ (рис. 29). В выделенный участок трубы вода втекает при температуре $t$, а вытекает при температуре $t+\Delta t$ ($\Delta t<0$). Таким образом, за время $\Delta\tau$ протекшая вода отдаёт на участке $\Delta x$ количество теплоты $\Delta Q=-c\mu\Delta t\Delta\tau$, где $c$ — удельная теплоемкость воды. Такое же количество теплоты в стационарном режиме передается через теплоизолирующий слой окружающему воздуху.

Приравнивая эти выражения и в пределе, заменяя $\Delta t$ и $\Delta x$ на $dt$ и $dx$, можно записать

где $A=\chi\frac{2\pi R}{c\mu h}$ — постоянный множитель. При вычислении численного значения $A$ следует учесть поправку на толщину теплоизолирующего слоя и вместо значения $R=20\ \text{см}$ подставлять $(R+h/2)=22\ \text{см}$. Тогда

Интегрируя левую часть уравнения (3) в пределах от $t_0$ до $t_\text{к}$, а правую, соответственно, от 0 до $L$, получим

1. Для теплотрассы длиной $L_1=10\ \text{км}$ $t_{\text{к}1}=-20+(120+20)e^{-0{,}0654}\approx111^\circ\mathrm C$
2. Для теплотрассы длиной $L_2=100\ \text{км}$ $t_{\text{к}2}=-20+(120+20)e^{-0{,}654}\approx53^\circ\mathrm C$

Примечание. При длине теплотрассы $L_1=10\ \text{км}$ температура понизилась незначительно, поэтому в этом случае задачу можно решить приближенно без интегрирования уравнения, предполагая, что теплообмен с окружающим воздухом во всей трубе идет при разности температур $(t_0-t_\text{в})$, как на начальном участке теплотрассы. Это приводит к уравнению

Выражая $t_{\text{к}1}$, получим

Подсчет температуры $t_{\text{к}2}$ подобным методом приводит к ошибочному результату: $t_{\text{к}2}\approx28^\circ\mathrm C$. Однако, можно предположить, что теплообмен вдоль всей теплотрассы происходит при некоторой средней температуре воды $(t_0+t_\text{к})/2$. В этом случае

что является уже вполне приличным приближением.