Съдържание

ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (11 кл.). 11 класс — Светодиоды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Санкт-Петербург, 2007 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Фольклор	Слободянин В.	Соболев М.	Козел С.	—
10	Воробьёв И.	Фольклор	Козел С.	Плис В.	Козел С.
11	Козел С.	Воробьёв И., Ершов А.	Дельцов В.	Малеев А.	Жак С.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Гущин И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 11 марта 2008 г. в 13:18.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Между круглыми полюсами радиусом $R=5\ \text{см}$ большого электромагнита, создающего в зазоре однородное магнитное поле с индукцией $B=1\ \text{Тл}$ , перпендикулярно линиям магнитной индукции движется с постоянной скоростью $v=10\ \text{м/с}$ металлический стержень (рис. 11).

Концы стержня, длина которого больше $2R$ , соединены гибкими проводами со схемой, включающей батарею с ЭДС $\mathcal E_0=0{,}5\ \text{В}$ и два светодиода C₁ и C₂, которые горят при напряжении $U\geqslant0{,}25\ \text{В}$ и определённой полярности, указанной на рисунке. Будем считать, что в начальный момент времени стержень касается окружности (т.е. начинает пересекать при своём движении линии магнитной индукции). Определите напряжение $U(t)$ на светодиодах и найдите моменты времени их зажигания и гашения на интервале времени движения стержня в магнитном поле ( $0\leqslant t\leqslant2R/v$ ). Качественно постройте график зависимости $U(t)$ и укажите на нем интервалы зажигания светодиодов C₁ и C₂.

Решение

При движении стержня в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции $|\mathcal E^\text{инд}|=\Delta\Phi/\Delta t$ , модуль которой зависит от времени. Знак $\mathcal E^\text{инд}$ может быть определён либо из выражения для силы Лоренца, либо из закона электромагнитной индукции Фарадея. В итоге приходим к эквивалентной схеме замкнутой электрической цепи (рис. 30). Обратим внимание на то, что $\mathcal E^\text{инд}$ и $\mathcal E_0$ включены в цепь навстречу друг другу.

Найдем теперь зависимость $\mathcal E^\text{инд}$ от времени. По условию в начальный момент стержень касался границы области магнитного поля. К моменту времени $t$ он пролетит расстояние $|CD|=vt$ (рис. 31). Из геометрических соображений найдем длину хорды $|AB|$ .

|AB|=2|AD|=2\sqrt{R^2-(R-vt)^2}=2\sqrt{vt(2R-vt)}.

Изменение магнитного потока за малое время $\Delta t$ равно $\Delta\Phi=B\cdot|AB|\cdot v\Delta t$ . Отсюда находим

|\mathcal E^\text{инд}|=2Bv\sqrt{vt(2R-vt)}.

Максимальное значение $\mathcal E^\text{инд}$ достигается при $t=R/v$

|\mathcal E^\text{инд}|_{\max}=2BvR=1\ \text{В}.

Напряжение на светодиодах равно $U=\mathcal E_0-\mathcal E^\text{инд}$ . Качественно зависимость $U(t)$ может быть представлена графически (рис. 32). Из приведенного графика следует, что светодиод C₂ будет светиться при $U\geqslant0{,}25\ \text{В}$ , то есть на интервалах времени $[0,t_1]$ и $[t_4,t_0]$ , где $t_0=2R/v$ . Светодиод C₁ будет светиться при $U<-0{,}25\ \text{В}$ , то есть на интервале времени $[t_2,t_3]$ .

Найдём моменты времени $t_1$ и $t_2$ . Моменты времени $t_3$ и $t_4$ находятся из симметрии графика: $t_3=t_0-t_2$ , $t_4=t_0-t_1$ .

Для $t_1$ и $t_4$

\mathcal E_0-2Bv\sqrt{vt_{1,4}(2R-vt_{1,4})}=0{,}25\ \text{В}=\frac14|\mathcal E^\text{инд}|_{\max}=\frac12BvR.

Принимая во внимание $\mathcal E_0=\frac12|\mathcal E^\text{инд}|_{\max}=BvR$ , приходим к квадратному уравнению

t_{1,4}^2-\frac{2R}v t_{1,4}+\frac1{16}\frac{R^2}{v^2}=0,

откуда $t_{1,4}=\dfrac Rv\left(1\pm\sqrt{\dfrac{15}{16}}\right)=5\cdot10^{-3}\cdot(1\pm0{,}97)\ \text{с}$ . Таким образом, $t_1=150\ \text{мкс}$ , $t_4=9{,}85\ \text{мс}$ .

Аналогично для $t_2$ и $t_3$

t_{2,3}^2+\frac{2R}v t_{2,3}+\frac9{16}\frac{R^2}{v^2}=0,

t_{2,3}=\frac Rv\left(1\pm\sqrt{\frac7{16}}\right)=5\cdot10^{-3}\cdot(1\pm0{,}66)\ \text{с}.

t_2=1{,}8\ \text{мс}\qquad t_3=8{,}3\ \text{мс}.

Система оценивания

Критерий	Баллы
Выражение для $\mathcal E^\text{инд}$ и эквивалентная схема	2
Определение $\vert \mathcal E^\text{инд}\vert _{\max}$	1
Формула для напряжения на светодиодах	1
Построение графика зависимости напряжения на светодиодах от времени	2
Определение моментов времени зажигания и гашения светодиода C₁	2
Определение моментов времени зажигания и гашения светодиода C₂	2

Оригинал в Архива: final07T.pdf