ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4 (10 кл.). 10 класс — Пузырёк воздуха в воде

Давление воздуха в пузырьке у дна сосуда $p_1=p_0+\rho gh$. Пусть после подъёма пузырька вверх давление воздуха стало равным $p_2=p_0+\Delta p$, а объём $V_2=V+\Delta V$. Поскольку $\Delta V_\text{ж}=-\Delta V$, то $\Delta p=-K\Delta V_\text{ж}/V_\text{ж}=K\Delta V/V_\text{ж}$. Так как процесс изотермический, $(p_0+\rho gh)V=(V+\Delta V)(p_0+K\Delta V/V_\text{ж})$. Обозначая отношение $\Delta V/V$ через $\varepsilon$, получим:

Решая квадратное уравнение, получаем:

Давление в верхней части сосуда

(Мы учли, что объём пузырька не может стать меньше нуля, и поэтому одно из решений не подходит.)

Числовой расчёт даёт для $p_2$ значение $p_2=1{,}17\cdot10^5\ \text{Па}$.

Таким образом, при подъёме пузырька давление во всём сосуде возрастёт на величину $p_2-p_0=0{,}17\cdot10^5\ \text{Па}$. При этом давление в пузырьке изменится на $\Delta p=p_2-p_1=-0{,}13\cdot10^5\ \text{Па}$. Следовательно, $|\Delta p|/p_1=0{,}1$. В предельных случаях расчёт даёт следующие результаты:

1. Из $V\to0$ следует $p_2\to p_0$.
2. Из $K\to0$ следует $p_2\to p_0$.
3. Из $K\to\infty$ следует $p_2\to p_1=p_0+\rho gh$.

Примечание. Так как относительное изменение давления в пузырьке при его подъёме достаточно мало, можно было воспользоваться приближённой формулой, связывающей изменения давления и объёма воздуха в пузырьке при его подъёме: $p\Delta V+V\Delta p=0$. Из этой формулы следует $\Delta p=-p_1\Delta V/V$. Формула для $p_2$ приобретает следующий приближённый вид:

Предельные переходы дают те же результаты, что и при точном решении. Приближённое решение будет рассматриваться как полное решение задачи при условии обоснованности его применимости ($\frac{|\Delta p|}{p_1}\ll1$).