ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 1 (8 кл.). 8 класс — Кирпичный «колодец»

Проанализируем график, представленный на рисунке 16. Его первый участок от нулевой до 60-й секунды соответствует заполнению водой пространства между стенками сосуда и кирпичами. Объём наливаемой воды определяется произведением высоты $h$ на разность между площадью дна сосуда $S_0$ и площадью внешнего сечения кирпичного «колодца» $S_1=(A+B)^2$.

В течение последующих 10 с уровень воды в сосуде не меняется, что обусловлено заполнением водой внутренней полости «колодца» через верхний край кирпичей. Площадь сечения внутренней полости $S_2=(B-A)^2$. Начиная с 70-й секунды уровень воды превышает высоту кирпичной конструкции. Из графика следует, что длина кирпича $C=25\ \text{см}$. С этого момента заполнение сосуда происходит медленнее, чем на первом участке, так как площадь сечения заполняемого объёма стала больше и равна теперь площади дна сосуда. Участок графика от 70-й до 130-й секунды позволяет определить расход поступающей в сосуд воды $v$ в литрах в секунду. Поскольку за $\Delta t_3=60\ \text{с}$ в сосуд поступил объём $\Delta hS_0$, где $\Delta h=10\ \text{см}$, то

Теперь на основе первой части графика (до 60-й секунды) можно определить внешнюю площадь сечения кирпичного «колодца». Поскольку за $\Delta t_1=60\ \text{с}$ уровень воды достиг значения $h_0=25\ \text{см}$, то объём поступившей за это время воды с одной стороны равен произведению этой высоты на разность площадей $S_0$ и $S_1$, а с другой стороны этот объём равен произведению расхода воды на время её поступления. Таким образом получаем уравнение $h_0((S_0-(A+B)^2)=v\Delta t_1$ или

Заполнение внутренней полости «колодца» продолжалось $\Delta t_2=10\ \text{с}$. Следовательно $h_0(B-A)^2=v\Delta t_2$. Или

Из (1) и (2) находим $B=12\ \text{см}$, $A=6\ \text{см}$. Таким образом объём одного кирпича равен $V=A\times B\times C=6\times12\times25=1800\ \text{см}^3=0{,}0018\ \text{м}^3$ а плотность $\rho=M_\text{к}/V=3{,}24/0{,}0018=1800\ \text{кг/м}^3$.