Съдържание

ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 3 (10 кл.). 10 класс — Смещение поршня

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Окружной этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Москва, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников.

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
8	Кармазин С.	Чудновский А.	Крюков А.	Слободянин В.	—
9	Шведов О.	Дунин С.	Александров Д.	Шведов О.	—
10	Чудновский А.	Варгин А.	Воробьёв И.	Чудновский А.	Чудновский А.
11	Чудновский А.	Чудновский А.	Варгин А.	Чивилёв В.	Шведов О.

Оформление и вёрстка — Чудновский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 28 декабря 2007 г. в 15:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

К поршню, который делит герметичный горизонтальный цилиндр на два отсека равной длины, прикреплён шток, проходящий через отверстие в торце цилиндра (рис. 10). Начальное давление воздуха в отсеках одинаково и равно внешнему. Найдите, на какую долю $x$ первоначальной длины отсека сместится поршень, если внешнее давление изменить в $n$ раз. Проведите расчёт для $n_1=50$ и $n_2=1/50$ . Отношение площади $s$ штока к площади $S$ поршня $\alpha=s/S=0{,}02$ . Температура воздуха в цилиндре поддерживается постоянной. Трение не учитывайте.

Решение

Пусть $P_0$ — исходное внешнее давление, $L$ — первоначальная длина отсека, $\Delta L$ — смещение поршня вправо, тогда $x=\Delta L/L$ , а условие равновесия поршня после изменения внешнего давления имеет вид:

nP_0s+\frac{LP_0}{L+\Delta L}(S-s)=\frac{LP_0}{L-\Delta L}S,\qquad (6)

где при расчёте давлений в отсеках использовано условие постоянства температуры воздуха. Сократив (6) на $P_0S$ , а дроби в нём — на $L$ , получим

n\alpha+\frac1{1+x}(1-\alpha)=\frac1{1-x},

или после приведения к стандартному виду:

\alpha nx^2+(2-\alpha)x+\alpha(1-n)=0.

Решение квадратного уравнения

x=\frac{\alpha-2\pm\sqrt{(2-\alpha)^2+4\alpha^2n(n-1)}}{2\alpha n}.

Поскольку $-1<x<1$ , то знак «−» следует отбросить. Подставив $n_1=50$ и $n_2=0{,}02$ , найдём

x_1=0{,}41,\qquad x_2=-0{,}0099\approx-0{,}01.

Во втором случае поршень сместится влево, так как $x_2<0$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Использование постоянства температуры для расчёта давлений	2
Условие равновесия поршня	2
Численный ответ в первом случае	3
Численный ответ во втором случае	3

Оригинал в Архива: ok07T.pdf