Съдържание

ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 3 (11 кл.). 11 класс — Частица и переменный конденсатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Окружной этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Москва, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников.

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
8	Кармазин С.	Чудновский А.	Крюков А.	Слободянин В.	—
9	Шведов О.	Дунин С.	Александров Д.	Шведов О.	—
10	Чудновский А.	Варгин А.	Воробьёв И.	Чудновский А.	Чудновский А.
11	Чудновский А.	Чудновский А.	Варгин А.	Чивилёв В.	Шведов О.

Оформление и вёрстка — Чудновский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 28 декабря 2007 г. в 15:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Одна из пластин плоского конденсатора закреплена, а другую можно передвигать. Расстояние между пластинами можно устанавливать любым в пределах от 0 до $d$ . Имеется источник постоянного напряжения, который вне зависимости от расстояния между пластинами поддерживает на конденсаторе напряжение $U$ . Требуется разогнать частицу с зарядом $q>0$ , первоначально покоившуюся между пластинами конденсатора, до максимально возможной кинетической энергии. При этом частица не должна приближаться к пластинам ближе, чем на расстояние $a$ . Найдите эту энергию и укажите полярность подключения источника, начальное положение частицы и способ перемещения пластины, при которых этот максимум достигается. Силу тяжести и краевые эффекты не учитывайте.

Примечание. Первообразная функции $1/(x+k)$ есть $\ln(x+k)$ .

Решение

Энергия частицы будет максимальна, если она сместится на максимально возможное расстояние под действием максимально возможной силы. Смещение ограничивается допустимыми расстояниями между пластинами и между пластиной и частицей. Электрическая сила, действующая на частицу, обратно пропорциональна расстоянию между пластинами, поэтому в каждый момент времени пластины должны быть максимально близко друг к другу.

Подключим конденсатор к источнику так, чтобы знаки зарядов частицы и закреплённой пластины совпадали. Сдвинем пластины до расстояния $2a$ . Поместим частицу точно посередине между пластинами. Как только частица начнёт двигаться, будем отодвигать пластину, чтобы расстояние от неё до частицы оставалось равным $a$ . При $d<2a$ ускорить частицу в конденсаторе невозможно.

Направим ось $x$ по направлению движения частицы и выберем начало отсчёта в месте начального положения частицы. Уравнение движения частицы имеет вид:

m\frac{dv}{dt}=|qE|,\qquad (12)

где $m$ и $v$ — масса и скорость частицы, $|E|=U/(2a+x)$ — напряжённость электрического поля в конденсаторе. Подставим $|E|$ и домножим (12) на $dx$ :

m\frac{dv}{dt}dx=|q|\frac U{2a+x}dx,

откуда, используя соотношение $v=dx/dt$ , получим

mv\,dv=|q|U\frac{dx}{2a+x}.

Интегрируя полученное выражение в пределах от начального до конечного состояний, находим

K_{\max}=\frac{mv_\text{кон}^2}2=|q|U\left.\ln(2a+x)\right|_0^{d-2a}=|q|U\ln\frac d{2a}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Полярность указана	1
Начальное положение частицы	1
Оптимальный способ перемещения	2
Уравнение движения	1
Выражение для электрической силы	2
Ответ	3

Оригинал в Архива: ok07T.pdf