Съдържание

ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 1 (11 кл.). 11 класс — Соскальзывающий канат

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Окружной этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Москва, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников.

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
8	Кармазин С.	Чудновский А.	Крюков А.	Слободянин В.	—
9	Шведов О.	Дунин С.	Александров Д.	Шведов О.	—
10	Чудновский А.	Варгин А.	Воробьёв И.	Чудновский А.	Чудновский А.
11	Чудновский А.	Чудновский А.	Варгин А.	Чивилёв В.	Шведов О.

Оформление и вёрстка — Чудновский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 28 декабря 2007 г. в 15:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Симметричная жёстко закреплённая труба состоит из трёх частей: двух прямых вертикальных участков $AB$ и $CD$ и соединяющего их участка $BC$ , имеющего форму полуокружности (рис. 13). Через трубу пропущен однородный тяжёлый канат, который может двигаться внутри неё без трения. В начальный момент времени его концы находятся на одной высоте. Вследствие пренебрежимо малого внешнего воздействия канат начинает соскальзывать в одну из сторон. Найдите ускорение $a$ концов каната и долю $k$ длины каната, на которую опустится один из его концов, в тот момент, когда вертикальная составляющая силы, действующей на канат со стороны трубы, станет равна нулю. Длиной изогнутого участка трубы можно пренебречь по сравнению с длиной вертикальных кусков каната в любой момент времени.

Решение

Пусть $\rho$ — линейная плотность каната (кг/м), $l$ — длина каната, $l_1$ и $l_2$ — длины его вертикальных кусков в некоторый момент времени, $T_1$ и $T_2$ — силы натяжения каната в точках $B$ и $C$ трубы, $F$ — вертикальная составляющая силы, действующей на канат со стороны трубы (рис. 23). Запишем второй закон Ньютона для вертикальных кусков каната:

\rho l_1a=\rho l_1g-T_1,\qquad\rho l_2a=T_2-\rho l_2g.\qquad (7)

По условию можно пренебречь длиной куска каната, находящегося внутри участка $BC$ трубы, по сравнению с длиной вертикальных кусков, то есть считать $l_1+l_2=l$ . Кроме того, различие между $T_1$ и $T_2$ связано с касательным ускорением $a$ этого короткого (значит, лёгкого) куска, поэтому примем $T_1=T_2=T$ . Решая систему (7), получаем

a=g\frac{l_1-l_2}{l_1+l_2}=2kg,\qquad T=2\rho g\frac{l_1l_2}{l_1+l_2}=\frac12\rho lg(1-4k^2),

где использовано

l_1-l_2=2kl,\quad l_1=\left(\frac12+k\right)l,\quad l_2=\left(\frac12-k\right)l.

Кусок каната, находящийся внутри участка $BC$ трубы, движется по окружности под действием сил натяжения и реакции трубы. Результирующей силой, вызывающей движение по окружности, пренебрегать нельзя, так как при заданной в данный момент скорости $v$ каната центростремительное ускорение возрастает с уменьшением диаметра полуокружности $BC$ .

Вместо трудоёмкого суммирования сил в каждой точке участка $BC$ применим метод малых перемещений: за малое время $\Delta t$ кусок каната, находящийся внутри участка $BC$ трубы, сместится на $\Delta l=v\Delta t$ , что эквивалентно переносу кусочка каната длиной $\Delta l$ из точки $C$ в точку $B$ с изменением знака его скорости. Изменение импульса вызвано импульсом результирующей силы:

\Delta p=2(\rho\Delta l)v=(2T-F)\Delta t,\qquad\text{откуда}\quad F=2T-2\rho v^2.\qquad (8)

Скорость $v$ найдём из закона сохранения энергии:

\frac{\rho lv^2}2=E_\text{кин}=-\Delta E_\text{пот}=(\rho kl)g(kl),\qquad\text{откуда}\quad2\rho v^2=4\rho lgk^2.

Подставляя полученное выражение в (8), находим $F=\rho lg(1-8k^2)$ . В искомый момент $F=0$ , откуда $k=1/(2\sqrt2)$ , $a=g/\sqrt2$ .

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Запись уравнений движения для вертикальных кусков каната	1
Получение $a=2kg$	1
Получение связи между $T$ и $k$	1
Нахождение $F=2T-2\rho v^2$	3
Выражение $v$ из закона сохранения энергии	2
Ответ для $k$	1
Ответ для $a$	1

Оригинал в Архива: ok07T.pdf