Съдържание

ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Результирующая сила

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Окружной этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Москва, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников.

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
8	Кармазин С.	Чудновский А.	Крюков А.	Слободянин В.	—
9	Шведов О.	Дунин С.	Александров Д.	Шведов О.	—
10	Чудновский А.	Варгин А.	Воробьёв И.	Чудновский А.	Чудновский А.
11	Чудновский А.	Чудновский А.	Варгин А.	Чивилёв В.	Шведов О.

Оформление и вёрстка — Чудновский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 28 декабря 2007 г. в 15:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Однородный нерастяжимый канат линейной плотностью $\rho$ (кг/м) тянут через блок радиусом $r$ (рис. 8). В некоторый момент разность длин свисающих кусков равна $h$ , а левый конец каната движется вниз со скоростью $v$ и ускорением $a$ . Найдите горизонтальную $F_x$ и вертикальную $F_y$ проекции суммы всех сил, действующих на канат в этот момент времени. Свисающие концы каната движутся по вертикали.

Решение

Результирующая сила $\vec F$ (векторная сумма всех сил, действующих на тело) определяет в соответствии со вторым законом Ньютона ускорение $\vec a_C$ центра масс тела:

\vec F=m\vec a_C,\qquad\text{откуда}\quad F_x=ma_{Cx},\quad F_y=ma_{Cy},

где $a_{Cx}$ , $a_{Cy}$ — проекции ускорения центра масс, $m=\rho l$ — масса каната, $l$ — его длина. Введём систему координат $Oxy$ как показано на рисунке 22. Пусть $l_1$ и $l_2$ — длины свисающих кусков каната в зависимости от времени, тогда вблизи рассматриваемого момента времени ( $t=0$ )

l_1(t)=l_{10}+vt+\frac{at^2}2,\qquad l_2(t)=l_{20}-vt-\frac{at^2}2,\qquad (3)

причём $l_1(0)-l_2(0)=l_{10}-l_{20}=h$ . Координаты центра масс каната:

x_C=\frac{\rho l_1\cdot r-\rho l_2\cdot r}{\rho l}=\frac{(l_1-l_2)r}l,\qquad (4)

y_C=\frac{\rho l_1\cdot(l_1/2)+\rho l_2\cdot(l_2/2)+\rho\pi r\cdot y_0}{\rho l}=\frac{l_1^2+l_2^2}{2l}+\frac{\pi ry_0}l,\qquad (5)

где $y_0$ — координата центра масс куска каната, лежащего на блоке. Подставив (3) в (4), получим

x_C(t)=\frac{rh}l+\frac{2rv}lt+\frac12\cdot\frac{2ra}lt^2,

откуда видно, что по оси $x$ ускорение центра масс $a_{Cx}=2ra/l$ . После аналогичной подстановки (3) в (5), раскрытия скобок и приведения подобных членов зависимость $y_C(t)$ примет вид многочлена четвёртой степени:

y_C(t)=B_0+B_1t+B_2t^2+B_3t^3+B_4t^4.

Как и в случае равноускоренного движения, $B_0$ — это начальная координата, $B_1$ — начальная скорость, $2B_2$ — начальное ускорение, которое в данном случае (в предположении $a(t)=\mathrm{const}$ ) не будет постоянным из-за наличия старших членов по $t$ (аналогично тому, как координата перестаёт быть постоянной при наличии скорости, а скорость перестаёт быть постоянной при наличии ускорения). Однако нам требуется найти именно начальное ускорение в этом движении, которое однозначно определяется коэффициентом

B_2=\frac{ha+2v^2}{2l},\qquad\text{откуда}\quad a_{Cy}(0)=2B_2=\frac{ha+2v^2}l.

Следовательно,

F_x=\rho l\cdot a_{Cx}=2\rho ra,\qquad F_y=\rho l\cdot a_{Cy}=\rho ha+2\rho v^2.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Связь результирующей силы с ускорением центра масс	1
Нахождение координат центра масс	3
Нахождение проекций ускорения центра масс	4
Окончательные выражения для проекций результирующей силы	2

Оригинал в Архива: ok07T.pdf