Съдържание

ВсОШ 2007, Зонален етап, 8–11 клас — Задача 4 (11 кл.). 11 класс — Электромагнитная пушка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Окружной этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Москва, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников.

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
8	Кармазин С.	Чудновский А.	Крюков А.	Слободянин В.	—
9	Шведов О.	Дунин С.	Александров Д.	Шведов О.	—
10	Чудновский А.	Варгин А.	Воробьёв И.	Чудновский А.	Чудновский А.
11	Чудновский А.	Чудновский А.	Варгин А.	Чивилёв В.	Шведов О.

Оформление и вёрстка — Чудновский А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 28 декабря 2007 г. в 15:33.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В длинном соленоиде радиусом $r$ создано однородное магнитное поле с индукцией $B_0$ , направленной вдоль оси $O$ цилиндра (рис. 15). На расстоянии $R_0$ от оси, перпендикулярно оси, укреплена прямолинейная трубка $AM$ из диэлектрика. Угол $AOM$ равен $\alpha=\pi/3$ . Длина трубки значительно меньше длины соленоида. Внутри трубки в точке $A$ находится небольшой шарик массой $m$ с положительным зарядом $q$ . Найдите скорость шарика в момент вылета из трубки в следующих случаях.

1. Магнитное поле исчезает за малое время, в течение которого шарик смещается на расстояние, значительно меньшее $R_0$ .

2. Индукция магнитного поля уменьшается с постоянной скоростью $dB/dt=-k<0$ в течение всего времени движения шарика по трубке.

Трением и электромагнитным действием трубки на шарик пренебречь.

Решение

Разобьём время выключения поля на сколь угодно малые интервалы времени. Пусть магнитный поток через поперечное сечение соленоида за один из таких интервалов длительностью $\Delta t$ изменился на $\Delta\Phi$ . Тогда напряжённость вихревого электростатического поля в точке $A$ направлена вдоль трубки и равна

E=\frac{-\Delta\Phi}{2\pi R_0\Delta t}.

Сила, действующая на шарик, $F=qE$ . Поскольку $F\Delta t=m\Delta v$ , где $\Delta v$ — изменение скорости, то

-\frac q{2\pi R_0}\Delta\Phi=m\Delta v.

Суммирование данных уравнений за всё время включения поля даёт:

-\frac q{2\pi R_0}\sum\Delta\Phi=m\sum\Delta v.

У нас

\sum\Delta\Phi=0-B_0\pi r^2=-B_0\pi r^2,\qquad\sum\Delta v=v_1.

Шарик вылетает из трубки со скоростью, равной скорости $v_1$ , полученной в точке $A$ :

v_1=\frac{r^2qB_0}{2mR_0}.

Направим ось $Ox$ вдоль трубки (рис. 25). Пусть в произвольный момент времени при движении шарик находится в точке $C$ на расстоянии $R$ от оси соленоида, имеет скорость $v$ и его положение $x$ характеризуется углом $\beta$ . Напряжённость вихревого электрического поля в точке $C$

E=\frac{\pi r^2|dB/dt|}{2\pi R}=\frac{kr^2}{2R}.

На шарик действует сила $F=qE$ , её проекция на ось $Ox$ : $F_x=F\cos\beta$ . За малое время $\Delta t$ шарик переместится на расстояние $CD=v\Delta t$ , получив приращение скорости $\Delta v$ , причём $F_x\Delta t=m\Delta v$ . Имеем, с учётом выражений для $F_x$ , $F$ и $E$ :

\frac{kr^2q\Delta t}{2R}\cos\beta=m\Delta v.\qquad (13)

По теореме синусов для треугольника $OCD$ :

v\Delta t\approx\frac{\Delta\beta}{\sin(90^\circ-\beta)}.

Отсюда $\Delta t\cos\beta/R=\Delta\beta/v$ . С учётом последнего соотношения равенство (13) принимает вид

kr^2q\Delta\beta=2mv\Delta v.

Поскольку $2v\Delta v=\Delta(v^2)$ , то $kr^2q\Delta\beta=m\Delta(v^2)$ . У нас

\sum\Delta\beta=\frac\pi3-0=\frac\pi3,\qquad\sum\Delta(v^2)=v_2^2-0=v_2^2.

Шарик вылетит из трубки со скоростью

v_2=\sqrt{\frac{\pi kr^2q}{3m}}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Формула для $E$	1
Уравнение движения	1
Ответ для $v_1$	3
Выражение для $E$ в произвольной точке трубы	1
Уравнение движения	1
Ответ для $v_2$	3

Оригинал в Архива: ok07T.pdf